高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列课前预习课件ppt

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第4章 数列
第二课时　等比数列的性质及实际应用
课标要求
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
素养要求
通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
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一、等比数列的性质1.思考　若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列吗？ 提示　不一定.反例：若{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
2.填空　(1)若{an}是公比为q的等比数列，则an＝am·qn－m(n，m∈N*).
ap·aq
积
等比
温馨提醒　在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q＝－1时，连续相邻偶数个项的和都是0，故不能构成等比数列.
3.做一做　(多选)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也一定是等比数列的有(　　)
CD
二、等比数列在实际问题中的应用1.思考　等比数列实际应用问题的关键是什么？ 提示　建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
温馨提醒　能建立等比数列模型的实际问题，必须是离散型的问题，且这些离散的量之间是倍数关系的问题.
2.做一做　在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
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例1 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
题型一　灵活设项求解等比数列
训练1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
例2 已知{an}为等比数列. (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
题型二　等比数列性质的应用
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
迁移1　在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
迁移2　把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
巧用等比数列的性质解题基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
A
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题型三　等比数列的实际应用
例3 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
解　从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解　由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.
训练3 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
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课堂小结
1.牢记2个知识点(1)an＝am·qn－m(m，n∈N*).(2)等比数列项的运算性质.2.掌握2种常用方法(1)等比数列的常见设法.(2)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：①基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量.②数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.
课堂小结
3.注意1个易错点 解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
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1.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝(　　) A.6 B.2 C.2或6 D.－2
B
2.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝(　　) A.2 B.4 C.6 D.8
D
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项的和为(　　) A.－24 B.－3 C.3 D.8
A
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　)
D
5.(多选)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋ am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是(　　)
AC
A.数列{bn}为等比数列，公比为qmB.数列{bn}为等比数列，公比为q2mC.数列{cn}为等比数列，公比为qm2D.数列{cn}为等比数列，公比为qmm
6.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
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7.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
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9.已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
解　∵{an}为等比数列，∴a3a7＝a1a9＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
10.已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解　设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42，∴q≠1.
11.(多选)已知数列{an}为等比数列，则下面式子对任意正整数k都成立的是(　　) A.akak＋1>0 B.akak＋2>0 C.akak＋1ak＋2>0 D.akak＋1ak＋2ak＋3>0
BD
13.某公司在转型改制过程中，其销售额受到严重影响，从2021年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？
解　设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，由an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从2021年7月算起第5个月，也就是在2021年的11月该公司的销售收入跌至8万元.
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