2021学年1.5 平面上的距离教案配套ppt课件

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第1章 直线与方程
1.5.2　点到直线的距离
课标要求
1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.
素养要求
通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、点到直线的距离1.思考　(1)原点O到直线x＋2y－5＝0的距离是多少？
在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋
(2)如图，
By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，
如图，过点P作l的垂线l′，垂足为Q，
3.做一做　(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m的值可以为(　　)
AB
二、两条平行直线间的距离1.思考　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任
取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
2.填空　(1)两平行线间的距离是指夹在两条平行线间公垂线段的长，可以转化为点到直线的距离.
温馨提醒　(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等的情况，否则必须先化为对应相等才能套用公式.(2)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.
3.做一做　两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0间的距离等于(　　)
A
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 求过点P(1，2)且与点A(2，3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程.
题型一　点到直线的距离
解　法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1，2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意.
法二　显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，
即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.
(1)求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；(2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
训练1 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
C
例2 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离；
题型二　两平行线间的距离
(2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程.
即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.
解　依题意得，两直线的斜率都存在，设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因为l1与l2的距离为5，
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
题型三　利用距离公式解决最值问题
例3 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
训练3 已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________.
x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1).
课堂小结
1.牢记2个公式(1)点到直线的距离公式.(2)两平行直线间的距离公式.2.重点掌握2种规律方法(1)点到直线的距离的求解方法.(2)求两条平行直线间的距离的方法.3.注意1个易错点本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　)
D
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)
C
3.若点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　)
C
A.(7，＋∞) B.(－∞，－3)C.(－∞，－3)∪(7，＋∞) D.(－3，7)
即|3a－6|>15.故3a－6>15或3a－6<－15，即a>7或a<－3.
AD
解得C＝0或C＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5.点P(2，3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　)A.3，－3 B.5，2C.5，1 D.7，1
C
解析　直线ax＋(a－1)y＋3＝0恒过点A(－3，3).根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为AP＝5，此时因为kAP＝0，故直线ax＋(a－1)y＋3＝0的斜率不存在，所以a＝1.故选C.
6.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.
8
解析　由x2＋y2的实际意义可知，它表示直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
7.经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为 __________________________.
x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析　(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.
所以直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
8.在坐标平面内，与点A(1，2)的距离为1，且与点B(3，1)的距离为2的直线共有________条.
2
解析　由题意可知，所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
9.(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
解得m＝3或－7，所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
解得c＝9或c＝－3，所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10.直线l经过两直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且与直线l1：x＋y－6＝0平行.
即两直线交点坐标为(1，6).∵直线l1：x＋y－6＝0的斜率k1＝－1，∴直线l的斜率k＝－1.∴直线l的方程为y－6＝－(x－1)，即x＋y－7＝0.
(2)若点P(a，1)到直线l的距离与直线l1和直线l的距离相等，求实数a的值.
整理得|a－6|＝1，解得a＝7或a＝5.
11.已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1
A
即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个.
12.若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________，此时 直线l1与l2之间的距离为________.
13.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
解　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.∵点A(5，0)到l的距离为3，
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方.
法二　∵x＋y＋1＝0，∴y＝－x－1，