数学选择性必修第一册4.4 数学归纳法*教学演示课件ppt

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第4章 数列
4.4　数学归纳法
课标要求
1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
素养要求
通过利用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　(1)如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示　不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证.
(2)在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？提示　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.
2.填空　一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： (1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝________时命题也成立. 根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法(mathematical induction). 数学归纳法是证明与________有关的命题的常用方法.
k＋1
正整数
温馨提醒　数学归纳法的两个步骤分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可.步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可.如果缺少步骤(2)，无法对当n取n0以后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了.
步骤(2)中，证明“当n＝k＋1时命题成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件.
C
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　用数学归纳法证明等式
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，
即当n＝k＋1时，等式也成立，根据①和②可知，对任何n∈N*，等式都成立.
用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构.(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项.这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项.②代数式相邻两项之间的变化规律.③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系.
训练1 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).
证明　(1)当n＝1时，左边12－22＝－3，右边＝－3，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以当n＝k＋1时，等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N*都成立.
题型二　用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式的四个关键：
题型三　用数学归纳法证明整除、平面几何等数学命题
例3 证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64，故f(k＋1)也能被64整除.
综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
(1)用数学归纳法证明整除问题时，一般先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧.(2)用数学归纳法证明几何问题的关键是“找增量”，即几何元素从k(k∈N*)个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少个.解题时可以先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明.
题型四　归纳——猜想——证明
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
课堂小结
1.掌握2个知识点(1)数学归纳法的基本原理与步骤.(2)数学归纳法的简单应用.2.牢记2个方法(1)证明数学归纳法的步骤.(2)归纳—猜想—证明的思维体系.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
C
解析　因为题目要求是对n为正偶数，等式成立，故选C.
D
3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)等于(　　) A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2
C
解析　增加一个顶点，就增加(n＋1－3)条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故选C.
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
B
5.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*).若当n＝1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　) A.p(k)对k＝528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立
AD
解析　由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
7.用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于________.
6
解析　由题意，当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于6.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
11.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　) A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3
A
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3及9的倍数的式子即可.
12.已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　) A.30 B.9 C.36 D.6
C
解析　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想m＝36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立.(2)假设n＝k(n≥1，n∈N*)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，
[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]－18＋2×3k＋1＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1).∵3k－1－1是2的倍数，∴18(3k－1－1)能被36整除，∴当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*). (1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，猜想显然成立.②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
即n＝k＋1时，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成立.
14.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
AD
解析　若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，A正确；若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确；C中，由题意知f(2)<3成立，则应有f(1)<2成立，故C错误；B不一定成立.所以选AD.