数学选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用教案配套课件ppt

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第5章 导数及其应用
第二课时　导数在实际中的应用
课标要求
能审清题意，正确建立函数关系式，应用导数解决实际问题.
素养要求
1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养学生的数学建模素养.2.通过利用导数解决问题，提升学生的数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　求实际问题的最大(小)值时，如何确定出函数的定义域？ 提示　除使函数解析式有意义外，还要从问题的实际意义出发，根据实际问题确定出函数的定义域.
2.填空　(1)导数的实际应用 导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的______问题，从而可用导数来解决. (2)用导数解决实际生活问题的基本思路
最值
温馨提醒　利用导数解优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解题中要特别注意以下几点：(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义.
B
解得x＝9或x＝－9(舍去).当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减.因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值.故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).
题型一　面积、体积的最值问题
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
1.解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的意义，利用导数求解函数的最值.2.解决导数在实际应用时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
训练1 传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.假设定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm且以每秒1 cm等速率缩小，而长度以每秒20 cm等速率增长.已知定海神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm，且在这段变形过程中，当底面半径为10 cm时其体积最大.假设孙悟空将定海神针体积缩到最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.
4
解析　设原来定海神针的长度为a cm，t秒时定海神针的体积为V(t)，则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8.所以V′(t)＝[－2(12－t)·(a＋20t)＋(12－t)2·20]π.因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以10＝12－t，解得t＝2，此时V′(2)＝0，解得a＝60，所以V(t)＝π(12－t)2·(60＋20t)，其中0≤t≤8，V′(t)＝60π(12－t)(2－t)，当t∈(0，2)时，V′(t)>0，当t∈(2，8)时，V′(t)<0，从而V(t)在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，又V(0)＝8 640π，V(8)＝3 520π，所以当t＝8时，V(t)有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.
例2 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短.
题型二　用料最省、成本(费用)最低问题
解得x＝1.2或x＝－6(舍去).因为在[0，3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2 km处时，所需电线总长最短.
用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
训练2 某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)____________.
32 m，16 m
题型三　利润最大、效率最高问题
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
解　由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴x＝5.3时f(x)有最大值1 840.∵1 800＜1 840，∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大.
课堂小结
1.掌握1种素养 在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量.2.注意1个易错点 在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
D
令S′(x)＝0，解得x＝6.当00.
2.某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x－35，则该生产厂家获取的最大年利润为(　　) A.16万元 B.18万元 C.19万元 D.21万元
C
解析　由题意，y′＝－3x2＋27，当00，函数单调递增；当x>3时，y′<0，函数单调递减，所以当x＝3时，y有最大值，此时最大值为19万元，故选C.9
3.现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，若要使其体积最大，则其高为(　　)
B
4.欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径应为(　　)
C
B
令y′＝0，解得x＝8.当00，当x>8时，y′<0.∴当x＝8时，y取得最大值，故为使利润最大，应生产8千台.故选B.
25
令y′＝0，得x＝25.故当0＜x＜25时，y′＞0，当x＞25时，y′＜0，所以当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值，即产量定为25件时，总利润最大.
7.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800 n mile，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n mile/h.
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解析　设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，燃料费为y元/h，总费用为f(x)元.由题意设y与v满足的关系式为y＝av3(0≤v≤30)，由题意得25＝a·103，
当00.∴当v＝20时，f(x)最小，即当总费用最低时，海轮的航速为20 n mile/h.
8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是 ________.
9.如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2.设∠AOC＝x rad.
(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值.
10.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x).
解　设若商品每件降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21].
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解　由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
11.若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为(　　)
A
2π
解析　如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，高为h，
则V′(h)＝π(3－3h2).令V′(h)＝0，解得h＝1(h＝－1舍去)，当h∈(0，1)时，V′(h)>0，V(h)单调递增；
1
(2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值.
所以，当x＝80时，y取得极小值也是最小值11.25.故当汽车的行驶速度为80 km/h时，耗油量最少为11.25 L.
14.中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27 m的峡谷拐入宽为8 m的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E，F的连线恰好经过拐角内侧顶点O(点E，O，F在同一水平面内)，设EF与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角 为θ，则EF的长为________________(用θ表示).要使输气管 顺利通过拐角，其长度不能超过________m.
解析　如图所示，过点O分别作OA⊥AE，OB⊥BF，垂足分别为A，B，则∠OEA＝∠BOF＝θ.