【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练14　等比数列的前n项和

午练14　等比数列的前n项和

1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a2－8a5＝0，则的值为(　　)

A.  B.2

C.  D.17

答案　C

解析　＝q3＝，∴q＝.

∴＝＝1＋＝1＋q4＝.

2.设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝(　　)

A.32  B.64 

C.72  D.216

答案　B

解析　由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.

3.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，S2＝4，则a20 21等于(　　)

A.22 020  B.42 020

C.22 021  D.22 021

答案　A

解析　由Sn＋1＝2Sn，S2＝4可知，S1＝2，＝2，

故{Sn}是以2为首项，2为公比的等比数列，

故通项公式为Sn＝2×2n－1＝2n，

所以a2 021＝S2 021－S2 020＝22 021－22 020＝22 020×(2－1)＝22 020.

4.(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　)

A.数列{Sn＋n}为等比数列

B.数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1

C.数列{an＋1}为等比数列

D.数列{Sn－Sn－1＋1}为等比数列

答案　AD

解析　因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，

所以＝＝2.

又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；

所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；

由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即≠，故C错误；

由Sn＝2n－n，所以Sn－Sn－1＋1＝2n－n－2n－1＋n－1＋1＝2n－1，故D正确.

5.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)

A.3×44  B.3×44＋1

C.43  D.43＋1

答案　A

解析　已知an＋1＝3Sn，则当n≥2时，an＝3Sn－1，两式作差，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1＝4an，也即数列从第2项起，是以a2＝3为首项，4为公比的等比数列，从而an＝3·4n－2，n≥2.

由于a1＝1，则an＝

于是a6＝3×44.

6.已知等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是________.

答案　28

解析　易知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，

又Sm＝4，S2m－Sm＝8，

∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28.

7.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

答案　2

解析　由题意得

∴S奇＝－80，S偶＝－160，

∴q＝＝＝2.

8.若等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·4n－1＋t(其中m，t是常数)，则＝________.

答案　－4

解析　法一　a1＝S1＝m＋t，

a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，

则a＝a1a3，所以9m2＝12m(m＋t)，

即m＝－4t，故＝－4.

法二　Sn＝m·4n－1＋t＝m·4n＋t，

因为{an}是等比数列，故m＝－t，则＝－4.

9.已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项，则Sn＝________.

答案　－

解析　根据已知条件

整理得

解得3S2＝2S3＝6，即S2＝2，S3＝3.

∵q≠1，则可解得q＝－，a1＝4.

∴Sn＝＝－.

10.已知数列{an}的首项为1，Sn为其前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式.

解　由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，

两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.

又由S2＝qS1＋1，a1＝1得到a2＝qa1，

故an＋1＝qan对所有n≥1都成立.

所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，从而an＝qn－1.

由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得2a3＝3a2＋2，得2q2＝3q＋2，

则(2q＋1)(q－2)＝0，又q>0，故q＝2.

所以an＝2n－1(n∈N*).