【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练18　导数与函数的单调性

午练18　导数与函数的单调性

1.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A.y＝sin x  B.y＝xex

C.y＝x3－x  D.y＝ln x－x

答案　B

解析　B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数.对于选项A，C，D，都存在x0>0，使y′|x＝x0<0的情况.

2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)

A.f(b)>f(a)  B.f(d)>f(e)

C.f(a)>f(d)  D.f(c)>f(e)

答案　ABD

解析　由题图可得，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(c，e)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函数，在(c，e)上是减函数，

所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).

3.已知f(x)＝，则(　　)

A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2)

C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2)

答案　D

解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，

∵f′(x)＝，

∴x∈(0，e)时，f′(x)>0，x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，

又2<e<3，

∴f(2)<f(e)，f(3)<f(e)，

又f(2)＝＝，f(3)＝＝，

则f(e)>f(3)>f(2).

4.已知a，b∈(0，e)，且a<b，则下列式子中一定正确的是(　　)

A.aln b<bln a  B.aln b>bln a

C.aln a>bln a  D.aln a<bln b

答案　B

解析　设f(x)＝(x>0)，

则f′(x)＝.

当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.

又0<a<b<e，

所以f(a)<f(b)，即<，

所以bln a<aln b，A不正确，B正确；

设g(x)＝xln x(x>0)，则g′(x)＝1＋ln x.

当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴C，D均不一定正确.

5.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　)

答案　C

解析　由函数y＝xf′(x)的图象可知：

当x<－1时，xf′(x)<0，则f′(x)>0，此时f(x)单调递增；

当－1<x<0时，xf′(x)>0，则f′(x)<0，此时f(x)单调递减；

当0<x<1时，xf′(x)<0，则f′(x)<0，此时f(x)单调递减；

当x>1时，xf′(x)>0，则f′(x)>0，此时f(x)单调递增.

故选C.

6.若函数y＝x2－2bx＋6在(2，8)内是增函数，则实数b的取值范围是________.

答案　(－∞，2]

解析　由题意得y′＝2x－2b≥0在(2，8)内恒成立，即b≤x在(2，8)内恒成立，所以b≤2.

7.函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是________.

答案　

解析　由f′(x)＝1－2sin x<0，

得sin x>，

又x∈(0，π)，

∴x∈，故答案为.

8.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是________.

答案　(－∞，－1]

解析　∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，

∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.

∵f′(x)＝－x＋，

∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，

即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.

设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，

则当x>－1时，g(x)>－1，∴b≤－1.

9.若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在(1，4)上不单调，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　因为h(x)在(1，4)上不单调，

所以h′(x)＝－ax－2＝0在(1，4)上有解，即a＝－＝－1在x∈(1，4)上有解.

令t＝，则t∈，－1＝(t－1)2－1.

令m(t)＝(t－1)2－1，t∈，

则－1<m(t)<－.

所以实数a的取值范围是.

10.已知函数f(x)＝－x＋aln x(a>0).讨论f(x)的单调性.

解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.

(1)若0<a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数.

(2)若a>2，则f′(x)＝0得，

x＝或x＝.

当x∈∪时，

f′(x)<0；

当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)在，上是减函数，在上是增函数.

综上，当0<a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数；当a>2时，f(x)在，上是减函数，在上是增函数.