【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练20　导数的综合应用

午练20　导数的综合应用

1.对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)

A.0≤a≤21  B.a＝0或a＝7

C.a<0或a>21  D.a＝0或a＝21

答案　A

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，

当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点.

2.已知函数f(x)＝x－sin x，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0的解集是(　　)

A.  B.

C.(－∞，3)  D.(3，＋∞)

答案　C

解析　因为f(x)＝x－sin x，所以f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f′(x)＝1－cos x≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等价为f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x<3，故不等式的解集为(－∞，3).

3.定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是(　　)

A.f(0)＋f(2)>2f(1)

B.f(0)＋f(2)＝2f(1)

C.f(0)＋f(2)<2f(1)

D.f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定

答案　C

解析　∵(x－1)f′(x)<0，

∴当x>1时，f′(x)<0；当x<1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，

∴f(0)<f(1)，f(2)<f(1)，

则f(0)＋f(2)<2f(1).

4.(多选)已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(　　)

A.0<x0<  B.x0>

C.f(x0)＋2x0<0  D.f(x0)＋2x0>0

答案　AD

解析　函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，

∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，

易知f′(x)＝ln x＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，

∵x0是函数f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，

即ln x0＋1＋2x0＝0，

而f′＝>0，当x→0，f′(x)→－∞，

∴0<x0<，即A选项正确，B选项不正确；

f(x0)＋2x0＝x0ln x0＋x＋2x0＝x0(ln x0＋x0＋2)＝－x0(x0－1)>0，即D正确，C不正确.故答案为AD.

5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是(　　)

A.(－2，0)∪(2，＋∞)

B.(－2，0)∪(0，2)

C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(0，2)

答案　D

解析　当x>0时，′＝<0，所以φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝＝0，所以当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，即f(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，所以h(x)＝x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).故选D.

6.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________.

答案　9

解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9，经验证此时Δ>0，符合题意.

7.已知函数f(x)＝2xln x，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.

答案　(－∞，4]

解析　由2xln x≥－x2＋ax－3，

得a≤2ln x＋x＋对x∈(0，＋∞)恒成立.

设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0).

则h′(x)＝－＋1＝(x>0)，

当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.

∴h(x)min＝h(1)＝4.

又f(x)≥g(x)恒成立，∴a≤4.

8.已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是________.

答案　(－∞，e2－2]

解析　由f(x)－m≥0得f(x)≥m，

函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－＝，

当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，

此时，函数f(x)单调递增，

所以f(1)≤f(x)≤f(e).

即1≤f(x)≤e2－2，

要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.

9.已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝－m，若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[－1，1]使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.

答案　

解析　由∀x1∈[1，2]，∃x2∈[－1，1]使f(x1)≥g(x2)，知f(x1)min≥g(x2)min.因为f′(x)＝，所以当x∈[1，2]时，f′(x)≥0，f(x)在[1，2]上为增函数，f(x)min＝f(1)＝3.又在[－1，1]上，g(x)min＝g(1)＝－m，所以－m≤3，

即m≥－.

10.已知函数f(x)＝－1.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.

解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e1－a.

f′(x)及f(x)随x的变化情况如下表：

所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞).

(2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1－a)＝，

①当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减.

又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点.

②当a<1时，1－a>0，e1－a>1，

则f(e1－a)＝<0，所以f(x)在区间(0，e]上无零点.

综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点，

当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点.