【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　离心率问题

培优课　离心率问题

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状一个很重要的量，并且确定圆锥曲线离心率或其取值范围是解析几何中的一种重要题型，在各类试题中经常出现，面对这类题型，学生往往不知从何入手，求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造含a，b，c的等式或不等式，再转化为离心率e的等式或不等式.

类型一　求离心率的值

例1 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点.若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率.

解　根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).

依题意设点A坐标为，则点B坐标为，

所以AB＝.

由△ABF2是正三角形得2c＝×，

即b2＝2ac.

又因为b2＝a2－c2，

所以a2－c2－2ac＝0，

两边同除以a2，得＋2·－＝0，

解得e＝＝.

思维升华　求椭圆(双曲线)离心率的方法：

(1)直接求出a和c，再求e＝；也可利用e＝(或e＝)求解.

(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.

类型二　求离心率的范围

例2 已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围.

解　由题意可知直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.

点(1，0)到直线l的距离d1＝，点(－1，0)到直线l的距离d2＝，

s＝d1＋d2＝＝，

由s≥c，得≥c，

即5a≥2c2，则5≥2e2，

即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.

因为e>1，所以e的取值范围是.

思维升华　求双曲线离心率范围的方法

求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解.在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.

双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化.