【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练3(范围2.1～2.3)

进阶训练3(范围2.1～2.3)

一、基础达标

1.点M(a2，5)与圆x2＋y2＝25的位置关系是(　　)

A.点M在圆内

B.点M在圆上

C.点M在圆外

D.点M在圆上或在圆外

答案　D

解析　由于(a2)2＋52＝a4＋25≥25，故选D.

2.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为(　　)

A.6  B.4 

C.3  D.2

答案　B

解析　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6.

因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.

3.若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)

A.2或1  B.－2或－1

C.2  D.1

答案　C

解析　∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，

∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，

∴m>1.

又圆C过原点，

∴2m2－6m＋4＝0，

∴m＝2或m＝1(舍去)，

∴m＝2.

4.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　)

A.x＋y＝0  B.x－y＝0

C.x＝0  D.x＋y＝4

答案　ABD

解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：

(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，

所以直线方程为x＋y＝0或x－y＝0；

(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，

即x＋y－a＝0，则＝，

解得a＝4(a＝0舍去)，即x＋y－4＝0，故选ABD.

5.(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A.(x－5)2＋(y－7)2＝25

B.(x－5)2＋(y－7)2＝17

C.(x－5)2＋(y＋7)2＝9

D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25

答案　CD

解析　设动圆圆心为(x，y).

若动圆与已知圆外切，

则＝4＋1，

∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；

若动圆与已知圆内切，

则＝4－1，

∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.

综上，动圆圆心的轨迹方程为(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.

6.点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M是线段OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________.

答案　x2＋y2＝1

解析　设M(x，y)，则x＝，y＝，

∴x0＝2x，y0＝2y，即P(2x，2y).

又点P是圆x2＋y2＝4上的动点，则(2x)2＋(2y)2＝4，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝1.

7.圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0与直线l2：x＋y＋2＝0都对称，则D＋E＝________；若原点在圆C外，则F的取值范围是________.

答案　4　(0，10)

解析　由题设知直线l1，l2的交点为已知圆的圆心.由解得

∴圆心坐标为(－3，1)，

∴－＝－3，－＝1，

则D＝6，E＝－2，

∴D＋E＝4.

若原点在圆C外，

则即

故0<F<10.

8.已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程为________.

答案　x＝－4或4x＋3y＋25＝0

解析　由题设知圆心为(－1，－2)，半径长为5，弦长为8.

设弦心距为d，则d＝＝3.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，满足题意.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，

则d＝＝3，解得k＝－，

即直线l的方程为4x＋3y＋25＝0.

∴直线l的方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.

9.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R).

(1)判断直线l与圆C的位置关系；

(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长.

解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，

因此直线l过定点D(1，1)，

又＝1<，

所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交.

(2)由题意知直线l的斜率k＝m，

又k＝tan 120°＝－，故m＝－.

此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，

又圆C的半径r＝，

所以AB＝2＝2＝.

10.已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0(a∈R)及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过点M的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值.

解　(1)由已知条件可得点M在圆外，已知圆的圆心为C(1，2)，半径r＝2.

当过点M的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝3.

由圆心C(1，2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，直线x＝3与圆相切.

当过点M的切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.

由题意知＝2，

解得k＝.

故所求切线的方程为y－1＝(x－3)，

即3x－4y－5＝0.

综上，过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.

(2)由题意得＝2，

解得a＝0或a＝，

即所求a的值为0或.

二、能力提升

11.(多选)已知圆C：x2＋y2＋2mx－2(m＋1)y＋2m2＋2m－3＝0(m∈R)上存在两个点到点A(0，－1)的距离为4，则m的可能的值为(　　)

A.1  B.－1 

C.－3  D.－5

答案　ACD

解析　由题意知，圆C：(x＋m)2＋[y－(m＋1)]2＝22与圆A：x2＋(y＋1)2＝42相交.

故|4－2|<CA<4＋2，

即2<<6，

解得m∈(－－1，－2)∪(0，－1)，

所以m的值可能为－5，－3，1.

12.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.

答案　3－

解析　由题设知圆心为(1，0)，半径r＝1，lAB：x－y＋2＝0，则圆心(1，0)到l的距离d＝，

则AB边上的高的最小值为－1.

又AB＝2，故△ABC面积的最小值是×2×＝3－.

13.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)

解　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程为x2＋y2＝252，直线AB方程为＋＝1，即3x＋4y－120＝0.

设O到AB的距离为d，

则d＝＝24<25，

所以外籍轮船能被海监船监测到.

设监测时间为t，则t＝＝(h).

所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h.

三、创新拓展

14.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是(　　)

A.2  B.

C.3  D.

答案　B

解析　因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，

所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.

因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，

所以圆心(1，－2)在直线l：3ax＋2by＋4＝0上，所以3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，

所以MC的最小值为圆心C(1，－2)到直线l1：3x－4y＋4＝0的距离d＝ ＝3，切线长的最小值为＝＝.