【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练5(范围3.3.1～3.3.2)

进阶训练5(范围3.3.1～3.3.2)

一、基础达标

1.已知抛物线的焦点在x轴负半轴上，若p＝2，则其标准方程为(　　)

A.y2＝－2x  B.x2＝－2y

C.y2＝－4x  D.x2＝－4y

答案　C

解析　∵抛物线的焦点在x轴负半轴上，

∴设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0).

又∵p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选C.

2.抛物线y2＝2x上的一点A(2，y0)(y0>0)到其焦点的距离是(　　)

 A.  B. 

C.3  D.

答案　B

解析　法一　∵点A(2，y0)(y0>0)在抛物线y2＝2x上，

∴y0＝2.

又∵抛物线y2＝2x的焦点为，

∴点A(2，2)到抛物线焦点的距离

d＝＝，故选B.

法二　∵点A(2，y0)(y0>0)在抛物线y2＝2x上，焦点为F，

∴AF＝ 2＋＝2＋＝.故选B.

3.(多选)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的值可以为(　　)

A.3  B.4 

C.  D.

答案　ABD

解析　抛物线上的点P到准线的距离等于点P到焦点F(1，0)的距离，

所以点F到直线4x－3y＋11＝0的距离为d1＋d2的最小值，

所以(d1＋d2)min＝＝3，

即d1＋d2≥3，故选ABD.

4.若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为(　　)

A.  B.0

C.或0  D.8或0

答案　C

解析　由可得ky2－y＋2＝0.

若k＝0，则直线与抛物线只有一个交点(4，2)；

若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，所以k＝.

综上可知k＝0或，故选C.

5.设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且AF·BF＝25，则k的值为(　　)

A.±2  B.－1

C.±1  D.－2

答案　A

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知k≠0，

由得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，

所以y1y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2.

因为抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，

所以AF＝y1＋1，BF＝y2＋1，所以AF·BF＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25，所以k＝±2.故选A.

6.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.

答案　9

解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，

故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，

所以点M到y轴的距离为9.

7.若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.

答案　4

解析　双曲线－＝1的标准方程为－＝1，

由此c2＝3＋，知左焦点为.

由y2＝2px得准线为x＝－，

∴－ ＝－，又p>0，

∴p＝4.

8.已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k等于________.

答案　2

解析　由抛物线C：y2＝8x得焦点(2，0)，

由题意可知斜率k≠0，设直线AB为my＝x－2，其中m＝.

联立得到y2－8my－16＝0，Δ＞0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－16.

又＝(x1＋2，y1－2)，

＝(x2＋2，y2－2)，

所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)·(y2－2)

＝(my1＋4)(my2＋4)＋(y1－2)(y2－2)

＝(m2＋1)y1y2＋(4m－2)(y1＋y2)＋20

＝－16(m2＋1)＋(4m－2)×8m＋20

＝4(2m－1)2.

由4(2m－1)2＝0，解得m＝.所以k＝＝2.

9.已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)且斜率为k的直线l.当k分别取何值时，l与C有且只有一个公共点、有两个公共点、无公共点？

解　由题意得，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，将x＝－代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0.

(1)当k＝0时，y＝1，把y＝1代入y2＝－2x中，得x＝－，直线l与抛物线C只有一个公共点.

(2)当k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4.

由Δ＝0得，k＝.

 ∴当k<或k>时，Δ<0，l与C无公共点.

当k＝时，Δ＝0，l与C有且只有一个公共点.

当<k<且k≠0时，Δ>0，l与C有两个公共点.

综上，当k＝或k＝0时，l与C有且只有一个公共点；

当<k<0或0<k<时，l与C有两个公共点；

当k<或k>时，l与C无公共点.

10.求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在的直线方程.

解　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

由得

又∵kAB＝.⑤

由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，

∴＝，

将④⑤代入上式可得kAB＝－4.

故弦所在的直线方程为y＋1＝－4(x－1)，

即4x＋y－3＝0.

二、能力提升

11.已知圆x2＋y2＝r2(r>0)与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点.若四边形ABCD是矩形，则r＝(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　C

解析　由对称性可假设点A在第一象限，易得C.由四边形ABCD是矩形，可知A.将点A坐标代入y2＝2x得r2－＝1，解得r＝，故选C.

12.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________.

答案　(2，±2)

解析　如图所示，

由题意，

可得OF＝1，

由抛物线的定义，

得AF＝AM.

因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，

所以＝＝3.

所以AF＝AM＝3OF＝3.

设A，所以＋1＝3，

所以＝2，解得y0＝±2.

所以点A的坐标是(2，±2).

13.如图，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为，点M(t，1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)总在直线OM上.

(1)求抛物线C的方程及t的值；

(2)记d＝，求d的最大值.

解　(1)∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为直线x＝－，

∴1－＝，p＝，

∴抛物线C的方程为y2＝x.

又点M(t，1)在抛物线C上，

∴t＝1.

(2)由(1)知点M(1，1)，从而n＝m，

即点Q(m，m)(m>0).

依题意，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由

得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，

故k·2m＝1，k＝.

∴直线AB的方程为y－m＝(x－m)，

即x－2my＋2m2－m＝0.

由

整理得y2－2my＋2m2－m＝0，

∴Δ＝4m－4m2>0，

∴0<m<1，则y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.

从而AB＝|y1－y2|

＝

＝2

∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，

当且仅当m＝1－m，即m＝时，等号成立.

又m＝满足Δ＝4m－4m2>0，

∴d的最大值为1.

三、创新拓展

14.已知y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________.

答案　

解析　由题意得F，CF＝p－＝3p.

又CF＝2AF，则AF＝p，

由抛物线的定义得AB＝p，

所以xA＝p，则|yA|＝p.

由CF∥AB得＝，即＝＝2，

所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，

所以×3p×p＝9，则p2＝6，

又p>0，所以p＝.