【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练7(范围4.3.1～4.3.3)

进阶训练7(范围4.3.1～4.3.3)

一、基础达标

1.如果数列{an}是等比数列，那么(　　)

A.数列{a}是等比数列

B.数列{2an}是等比数列

C.数列{lg an}是等比数列

D.数列{nan}是等比数列

答案　A

解析　利用等比数列的定义验证即可.

设{an}的公比为q(q≠0)，bn＝a，

则＝＝＝q2，

∴{bn}是等比数列，故A正确；

＝2an＋1－an≠常数，故B错误；

当an<0时，lg an无意义，故C错误；

设cn＝nan，则＝＝≠常数，故D错误.故选A.

2.(多选)已知数列{an}为等比数列，a1，a3，a2成等差数列，则数列{an}的公比q的值为(　　)

A.1  B.－1 

C.－  D.

答案　AC

解析　由题意知2a3＝a1＋a2，

∴2a1q2＝a1q＋a1.

又a1≠0，则2q2＝q＋1，

∴q＝1或q＝－.故选AC.

3.(多选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝2S2，则数列{an}的公比q＝(　　)

A.－1  B.1 

C.－2  D.2

答案　AB

解析　当q＝1时，符合题意；当q≠1时，由S4＝2S2，得＝，解得q＝－1.综上，q＝±1.

4.在数列{an}中，a1＝2，an＝2an＋1(n∈N*)，则a1a3＋a2a4＋…＋a10a12＝(　　)

A.×(410－1)  B.×(411－1)

C.×  D.×

答案　D

解析　∵a1＝2，an＝2an＋1，

∴{an}是首项为2，公比为的等比数列，

∴a1a3，a2a4，…，a10a12是公比为的等比数列，首项a1a3＝2×2×＝1，

∴a1a3＋a2a4＋…＋a10a12

＝＝×.故选D.

5.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有恒厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？(　　)

A.2  B.3 

C.4  D.6

答案　C

解析　不妨设大鼠、小鼠每天穿墙的厚度构成数列{an}和{bn}，则由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列；数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列.设第n天共穿厚度之和为Sn，

则Sn＝＋＝2n－＋1，

当n＝3时，S3＝<10，

当n＝4时，S4＝>10，故第4天相逢，选C.

6.等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，则m＝________.

答案　－3

解析　∵点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，

∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m.

由Sn＝－Aqn＋A，比较可得m＝－3.

7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝5Sn＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________.

答案　

解析　∵an＝5Sn＋1，

∴n≥2时，an－1＝5Sn－1＋1，两式相减，

得an－an－1＝5an，

∴an＝－an－1，

∴{an}为公比为－的等比数列.

又a1＝5a1＋1，∴a1＝－，

从而an＝.

8.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________.

答案　－2

解析　Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，得2an＋1＋an＋2＝0，

所以an＋1(2＋q)＝0.

又an＋1≠0，所以q＝－2.

9.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)·an.设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式.

解　(1)由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，

所以a2＝4.

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

理由如下.

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，

又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

(3)由(2)可得＝2n－1，

所以an＝n·2n－1.

10.设数列{an}满足an＋1＝an＋2，a1＝4.

(1)求证：{an－3}是等比数列，并求an；

(2)求数列{an}的前n项和Tn.

(1)证明　∵an＋1＝an＋2，a1＝4，

∴an＋1－3＝(an－3).

∵a1－3＝1≠0，

∴{an－3}是首项为1，公比为的等比数列.

∴an－3＝，

∴an＝3＋.

(2)解　由(1)知，an＝3＋，

故Tn＝3n＋

＝3n＋＝3n＋－.

二、能力提升

11.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.

答案　

解析　法一　设数列{an}的公比为q(q≠0)，

∵＝，

∴q≠1，且＝，即1＋q5＝3，

∴q5＝2.

∴＝

＝＝.

法二　由＝可设S5＝k，S10＝3k(k≠0)，由等比数列中S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比数列，得S15－S10＝4k，S20－S15＝8k，解得S15＝7k，S20＝15k，则＝＝.

12.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”.若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

答案　2n＋1－2

解析　∵an＋1－an＝2n，

∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.

a1＝2满足上式，∴an＝2n.

∴Sn＝＝2n＋1－2.

13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.

解　(1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，两式相减得an＝2an－2an－1，

即an＝2an－1(n≥2)，

又a1＝2a1－2，∴a1＝2，

∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n.

∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，

∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2，

∴{bn}是等差数列.∵b1＝1，∴bn＝2n－1.

(2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①

∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1，②

①－②得：

－Tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2·－(2n－1)2n＋1

＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1

＝(3－2n)·2n＋1－6，

∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.

三、创新拓展

14.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形……如此继续.若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________.

答案　

解析　设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.由题意正方形边长构成数列，，，…，其中第10项为＝，即所求最小正方形的边长为.