【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练8(范围5.1～5.2)

进阶训练8(范围5.1～5.2)

一、基础达标

1.已知f(x)＝，则f′(16)＝(　　)

A.－  B. 

C.－4  D.4

答案　B

解析　∵f′(x)＝，

∴f′(16)＝＝.

2.(多选)已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为(　　)

A.f(x)＝(x－1)2＋3(x－1) B.f(x)＝2(x－1)

C.f(x)＝2(x－1)2 D.f(x)＝3x－1

答案　AD

解析　分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝3. 易知选AD.

3.已知函数f(x)＝sin，则f′＝(　　)

A.  B.1 

C.  D.

答案　D

解析　f′(x)＝2cos，

则f′＝2cos＝2cos＝.

4.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为(　　)

A.e2  B.e 

C.  D.ln 2

答案　B

解析　由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1.

根据题意知，ln x0＋1＝2，

所以ln x0＝1，即x0＝e.

5.(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中其中有“巧值点”的函数是(　　)

A.f(x)＝x2  B.f(x)＝e－x

C.f(x)＝ln x  D.f(x)＝tan x

答案　AC

解析　A中，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，令x2＝2x，则x＝0，x＝2，有“巧值点”；

B中，f(x)＝e－x，f′(x)＝－e－x，令－e－x＝e－x，无解，无“巧值点”；

C中，f(x)＝ln x，f′(x)＝，令ln x＝，设g(x)＝ln x－，则g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，由零点存在定理，知在(1，e)上必有零点，f(x)有“巧值点”；

D中，f(x)＝tan x，f′(x)＝，令＝tan x，则sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”.所以有“巧值点”的是AC.

6.已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.

答案　1

解析　由于f′(0)是常数，∴f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，

∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.

7.曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线的方程为________.

答案　x－y－1＝0

解析　f′(x)＝1＋ln x，则在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，故所求的切线方程为y－0＝1·(x－1)，即x－y－1＝0.

8.函数y＝xe1－2x的导数y′＝________.

答案　(1－2x)e1－2x

解析　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.

9.求下列函数的导函数：

(1)y＝xe－x；(2)y＝；

(3)y＝x(x＋1)(x＋2).

解　(1)y′＝e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x).

(2)因为y＝＝＝2－，

所以y′＝.

(3)法一　y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)·(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2.

法二　因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)·(x＋2)＝x3＋3x2＋2x，所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.

10.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.

解　(1)∵y′＝2x＋1，

∴直线l1的斜率为2×1＋1＝3.

设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，

则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.

∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，即b＝－，

∴B，

故直线l2的方程为y－＝－，

即y＝－x－.

(2)由(1)及直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.

解方程组得

∴直线l1和l2的交点坐标为.

又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，，

故所求三角形的面积为

S＝××＝.

二、能力提升

11.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)

A.  B.2 

C.3  D.0

答案　A

解析　设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.

∵y′＝，

∴k＝＝2，

解得x0＝1，

∴y0＝ln(2x0－1)＝0，即切点坐标为(1，0).

∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，

即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.

12.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan 2α的值是__________.

答案　－

解析　求导得，f′(x)＝cos x＋sin x，

∵f′(α)＝3f(α)，

∴cos α＋sin α＝3(sin α－cos α)，

即2cos α＝sin α，

∴tan α＝2，

则tan 2α＝＝＝－.

13.(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；

(2)在曲线y＝上求一点，使在该点的切线平行于x轴，并求切线方程.

解　(1)∵f(x)＝eπxsin πx，

∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx).

∴f′＝πe＝πe.

(2)设切点坐标为P(x0，y0)，

由题意可知k＝0.

又y′＝，

∴k＝＝0.

解得x0＝0，此时y0＝1.

即切点坐标为P(0，1)，切线方程为y－1＝0.

三、创新拓展

14.(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是(　　)

A.f(x)＝sin x＋cos x B.f(x)＝ln x－2x

C.f(x)＝－x3＋2x－1 D.f(x)＝－xe－x

答案　ABC

解析　若f(x)＝sin x＋cos x，

则f″(x)＝－sin x－cos x，在上恒有f″(x)<0；

若f(x)＝ln x－2x，则f″(x)＝－，在上恒有f″(x)<0；

若f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x，在上恒有f″(x)<0；

若f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)·e－x，在上恒有f″(x)>0.