2021-2022学年河南省信阳市浉河区新时代学校八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河南省信阳市浉河区新时代学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中名护士的成绩单位：分分别为：，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

3. 如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 一次函数的图象和性质叙述正确的是(    )

A. 随的增大而增大 B. 与轴交于点
C. 函数图象不经过第一象限 D. 与轴交于点

5. 下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列命题中，是真命题的是(    )

A. 方差越大，数据越稳定
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 在实数范围内有意义的条件是

7. 如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D. 或

8. 如图，在正方形中，，是边上的动点，于点，于点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. ，两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系．根据图象得出的下列结论：甲骑车速度为小时，乙的速度为小时；的函数表达式为；的函数表达式为；小时后两人相遇，其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，已知直线：，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，以为半径作弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，以，为半径作弧交轴于点按此作法进行下去，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为______．
12. 将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______．
13. 如图，在中，，，于点，于点，且点是的中点，的周长是，则           ．

14. 定义一种新函数：对于给定的一次函数，我们称函数为一次函数的“相关函数”已知一次函数，若点在该函数的“相关函数”的图象上，则的值为______．
15. 如图，在四边形中，，，动点从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图所示，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面米处，在距离鱼线米处点的水下米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？

18. 新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
    被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：

______，______；
这组暑假的中位数和众数各是多少？
若该校初二年级共有名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．

19. 已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．
    求证：、互相平分；
    若，，，求线段的长．

20. 已知点、在直线：上，直线和函数的图象交于点．
    求直线的表达式；
    若点的横坐标是，求关于、的方程组的解及的值．
    在的条件下，根据图象比较当时，的值与的值的大小．

21. 年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元，十二月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元．
    求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
    已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为元个和元个，进入年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的倍，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，点在轴正半轴上，．
    求直线的解析式；
    若为线段上一点，且的面积等于的面积，求点的坐标；
    在的条件下，为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
    概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
    性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系．
    猜想结论：要求用文字语言叙述______
    写出证明过程先画出图形，写出已知、求证．
    问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：，，，，，处在第位为中位数．
故选：．
根据中位数的定义求解即可．
本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，且，
故选：．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
正方形的面积，
故选：．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数，
该函数随的增大而减小，故选项A错误；
与轴交于点，故选项B错误；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C正确；
与轴交于点，故选项D错误；
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、与不能合并，所以选项错误；
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项正确．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据完全平方公式对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

6.【答案】 

【解析】解：方差越小，数据越稳定，故A是假命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故B是真命题，符合题意；
矩形的对角线相等，故C是假命题，不符合题意；
在实数范围内有意义的条件是，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据方差的定义，直角三角形的性质，矩形性质，算术平方根的概念逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是两条直线相交问题，关键是利用数形结合思想，观察图象．
首先由已知两个函数相交于，两点，再观察图象即可求出的取值范围．
【解答】
解：当时，，，
两直线的交点为，
当时，，，
两直线的交点为，
由图象可知：当时，的取值范围为：或．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，
，，
四边形为矩形，是等腰直角三角形，
，，
，
正方形的边长为，
．
故选：．
根据正方形的对角线互相垂直可得，对角线平分一组对角可得，然后求出四边形为矩形，是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后根据正方形的性质解答即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲骑车速度为小时，乙的速度为小时，故正确，
设的表达式为，把，代入得到：，
解得，
直线的解析式为，故正确，
设直线的解析式为，把代入得到，
直线的解析式为，故正确，
由，解得，
小时后两人相遇，故正确，
故选D．
根据速度，即可求出两人的速度，利用待定系数法求出一次函数和正比例函数解析式即可判定正确，利用方程组求出交点的横坐标即可判断即可．
本题考查一次函数的应用，速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线为，点，轴，
当时，，
即，
，
，，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
同理可得，，，，
点的坐标为，
故选：．
依据直线为，点，轴，可得，同理可得，，，，依据规律可得点的坐标为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

11.【答案】 

【解析】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为，
故答案为：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位，得到的直线的解析式为．
故答案为．
根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数，若函数图象向上平移个单位，则平移的直线解析式为．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，是的中点，
，
，，
点是的中点，，
，
，
的周长，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当时，，
解得：，符合题意；
当时，，
解得：，符合题意．
综上，的值为或．
故答案为：或．
分及两种情况考虑，根据“相关函数”的定义及点在该函数的“相关函数”的图象上，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分及两种情况，找出关于的方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，点到达处，即，

过点作交于点，则四边形为矩形，
，，
，
当时，点到达点处，则，
则，
由勾股定理得，
故答案为：．
根据图和图得当时，点到达处，即；当时，点到达点处，即可求解．
本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示：过点作于点，连接，
由题意可得：，，
故AC，
则，
答：这条鱼至少秒后才能到这鱼饵处． 

【解析】根据题意直接得出，的长，再利用勾股定理得出的长，进而求出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出，的长是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：被随机抽取的学生共有：人，
活动次数为次的学生数为：，
活动次数为次的学生数为：，
故答案为：，；

这组数据的中位数是，众数是；

名．
答：初二年级中参加志愿活动在次及以上的学生约有名，
建议：学校可以多组织一些志愿服务讲座和分享具有志愿精神的事迹；
班级可以多开展一些以“志愿服务”为主题的班会，和同学们进行心得分享答案不唯一，合理即可．
利用活动次数为次的学生的数量以及对应的扇形圆心角的度数，即可得到抽取的学生数，利用活动次数为次的学生数对应的扇形圆心角的度数，即可得到，进而可得的值；
根据中位数和众数的定义即可求解；
利用样本估计总体的方法即可求解．
本题主要考查频数统计表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数和众数，根据频数统计表和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是和的角平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
、互相平分；

，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
过点作于点，
在中，，，
，
，
． 

【解析】欲证明、互相平分，只要证明四边形是平行四边形即可；
根据等边三角形的判定和性质以及解直角三角形即可得到结论．
本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：把、代入得，解得，
直线的解析式为；
当时，，则，
直线和函数的图象交于点．
关于、的方程组的解为；
把代入得，解得；
当时，． 

【解析】利用待定系数法求直线的解析式；
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求方程组的解，然后把点坐标代入可求出的值；
结合函数图象写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
 

21.【答案】解：设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元；
设购进“冰墩墩”个，则购进“雪容融”个，该旗舰店当月销售利润为元，
依题意得：，
，
解得：，
，
当时，最大，最大值为，
“冰墩墩”购进个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，利用销售总额销售单价销售数量，结合去年十一月及十二月的销售量及销售总额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据总利润“冰墩墩”和“雪熔融”利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
 

22.【答案】解：点在轴正半轴上，，
，
由设直线解析式为，
将代入得：，
解得，
直线的解析式为；
过作于，如图：

设，则，
将代入得：
，
，
在中，令得，
，
，
，，
的面积等于的面积，
，
解得，
；
存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
设，，又，，
若，为对角线，则，的中点重合，如图：

，
解得，
；
若，为对角线，同理可得：
，
解得，
；
若，为对角线，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】由点在轴正半轴上，，得，用待定系数法即得直线的解析式为；
过作于，设，，将代入可得，，根据的面积等于的面积，有，即可解得；
由，代入得直线解析式为，设，，又，，分种情况：若，为对角线，则，的中点重合，可得，即可解得；若，为对角线，，；若，为对角线，，．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
 

23.【答案】四边形是垂美四边形．
证明：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
垂美四边形两组对边的平方和相等
连接、，

，
，即，
在和中，
，
≌，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由得，，
，，
，，，
，
．

【解析】

解：见答案
猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：，
，
由勾股定理得，，
，
；
【分析】
根据垂直平分线的判定定理证明即可；
根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．