2023届高考数学一轮复习精选用卷 第四章 平面向量、复数 考点21 平面向量的数量积及应用+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第四章 平面向量、复数 考点21 平面向量的数量积及应用+答案解析，共11页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

考点测试21　平面向量的数量积及应用

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、低等难度
考纲
研读
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义
2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系


一、基础小题
1．若单位向量e1，e2的夹角为60°，a＝λe1－e2，且|a|＝，则实数λ＝(　　)
A．－1 B．2
C．0或－1 D．2或－1
答案　D
解析　由于|a|＝，所以a2＝3，即(λe1－e2)2＝3，λ2e－2λe1·e2＋e＝λ2－2λcos60°＋1＝3，即λ2－λ－2＝0，解得λ＝2或λ＝－1.故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，A(6,4)，B(4,3)，b为向量在向量a上的投影向量，则|b|＝(　　)
A. B. C. D．2
答案　C
解析　＝(－2，－1)，由投影公式可知|b|＝＝＝.
3．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
答案　A
解析　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，所以(－)·(＋)＝||2－||2＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选A.
4．已知a，b是两个非零向量，其夹角为θ，若(a＋b)⊥(a－b)，且|a＋b|＝2|a－b|，则cosθ＝(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　由(a＋b)⊥(a－b)，得(a＋b)·(a－b)＝0，可得|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|.由|a＋b|＝2|a－b|，可得|a＋b|2＝4|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝4(|a|2－2a·b＋|b|2)．整理得a·b＝|a|2，cosθ＝＝＝.故选B.
5．在△ABC中，·＝0，||＝4，||＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则·＝(　　)
A. B. C．－ D．7
答案　A
解析　如图所示，||＝＝3，·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝.故选A.


6．(多选)已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为，则下列结论正确的是(　　)
A．e1，e2的夹角是
B．e1，e2的夹角是或
C．|e1＋e2|＝1或
D．|e1＋e2|＝1或
答案　BC
解析　设向量e1，e2的夹角为θ，则e1·e2＝cosθ，因为|e1＋λe2|＝＝，且当λ＝－cosθ时，|e1＋λe2|min＝＝，得cosθ＝±，故θ＝或，且|e1＋e2|＝＝1或.
7．(多选)已知向量a＝(，1)，b＝(cosα，sinα)，α∈，则下列结论正确的有(　　)
A．|b|＝1 B．若a∥b，则tanα＝
C．a·b的最大值为2 D．|a－b|的最大值为3
答案　AC
解析　对于A，|b|＝ ＝1，A正确；对于B，若a∥b，则sinα－cosα＝0，∴tanα＝，B错误；对于C，a·b＝cosα＋sinα＝2sin，最大值为2，C正确；对于D，∵a－b＝(－cosα，1－sinα)，∴|a－b|＝ ＝＝ ，∵α∈，∴α＋∈，∴sin的最小值为，则|a－b|的最大值为，D错误．故选AC.
8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________．
答案　9
解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，∴A(0，3)，B(4,0)，C(0,0)，∴＝(4，－3)，＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，∴·(－)的最大值为9.



二、高考小题
9．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19，|a＋b|＝＝＝＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D.
10．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则＝________.
答案　－
解析　c＝a＋kb＝(3,1)＋k(1,0)＝(k＋3,1)，由a⊥c，得a·c＝0，所以3(k＋3)＋1＝0，解得k＝－.
11．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
答案　－
解析　由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
12．(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E.DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
答案　1　
解析　设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为(1－2x)的等边三角形，DE⊥DF，∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos0°＋(1－2x)2＝1，∴|2＋|＝1，∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)(1－x)×cos0°＝5x2－3x＋1＝52＋，∴当x＝时，(＋)·取得最小值.



13．(2021·浙江高考)已知平面向量a，b，c(c≠0)满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，(a－b)·c＝0.记平面向量d在a，b方向上的投影的数量分别为x，y，d－a在c方向上的投影的数量为z，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
答案　
解析　由|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，所以a－b＝(1，－2)．因为(a－b)·c＝0，所以可取c＝(2m，m)(m≠0)．因为向量d在a，b方向上的投影的数量分别为x，y，所以可得d＝(x，y)，所以d－a＝(x－1，y)，则z＝＝.
故x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋
＝[6y2－(4－4x)y＋9x2－8x＋4]≥＝≥，当且仅当x＝，y＝，z＝－时取等号，故x2＋y2＋z2的最小值为.
14．(2020·浙江高考)设e1，e2为单位向量，满足|2e1－e2|≤ ，a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，设a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值为________．
答案　
解析　∵|2e1－e2|≤，∴4－4e1·e2＋1≤2，∴e1·e2≥，∴cos2θ＝
＝＝＝≥×1－＝.
15. (2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则的最小值为________．

答案　　
解析　∵＝λ，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，·＝λ·＝λ||||cos120°＝λ×6×3×＝－9λ＝－，解得λ＝.以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，

∵BC＝6，∴C(6,0)，∵AB＝3，∠ABC＝60°，∴点A的坐标为.又＝，∴D.设M(x,0)，则N(x＋1,0)(其中0≤x≤5)，＝，＝，·＝＋2＝x2－4x＋＝(x－2)2＋，∴当x＝2时，·取得最小值.
三、模拟小题
16．(2021·山东日照市高三二模)已知|a|＝，|b|＝4，当b⊥(4a－b)时，向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵b⊥(4a－b)，|a|＝，|b|＝4，∴b·(4a－b)＝0，即4a·b－b2＝4a·b－|b|2＝0，∴a·b＝4，∴cos〈a，b〉＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.故选B.
17. (2022·江苏泰州中学高三开学考试)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若AC＝3，AB＝4，则·＝(　　)

A. B. C. D．－
答案　C
解析　因为＝2，所以＝，所以＝m＋＝m＋，因为C，P，D三点共线，所以m＋＝1，即m＝，所以＝＋，又＝－＝－，所以·＝·＝2－2－·＝||2－||2－||||cos＝×16－×9－×4×3×＝.故选C.
18．(2021·江苏扬州高三月考)已知向量a，b满足|a－b|＝2，且b＝(1，)，则|a|的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[0,4]
C．[2,4] D．[1,4]
答案　B
解析　由|a－b|＝2，得(a－b)2＝4，即a2＋b2－2a·b＝4，设向量a，b夹角为θ，则θ∈[0，π]，所以|a|2＋|b|2－2|a||b|cosθ＝4，因为b＝(1，)，所以|b|＝＝2，所以|a|2－4|a|cosθ＝0，当|a|＝0时，显然成立；当|a|≠0时，可得|a|＝4cosθ∈[－4,4]，又|a|＞0，所以0<|a|≤4，所以0≤|a|≤4，所以|a|的取值范围是[0,4]．故选B.
19. (2021·河北省衡水中学高三期中)平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为(　　)
A.－1 B.－1
C．0 D．2
答案　D
解析　∵平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，∴||·||cos∠DAB＝－1，∴cos∠DAB＝－，

∴∠DAB＝120°，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，∴A(0,0)，B(2,0)，D，设M，则－≤x≤，∴＝，＝，∴·＝x(x－2)＋＝x2－2x＋＝(x－1)2－，设f(x)＝(x－1)2－，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝－，f(x)max＝f＝2，则·的最大值为2.故选D.
20．(多选)(2022·河北武强中学高三月考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，下列说法正确的是(　　)
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b方向上的投影的数量为
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
答案　CD
解析　对于A，由题意知，a·b＝1>0，又a与b不共线，所以a与b的夹角为，故A错误；对于B，向量a在b方向上的投影的数量为＝＝，故B错误；对于C，a－b＝(1,2)，因为(a－b)∥c，m，n均为正数，所以c为非零向量，且－n＝2m－4，即2m＋n＝4，故C正确；对于D，由基本不等式知，4＝2m＋n≥2，mn≤2，当且仅当2m＝n＝2时取等号，故mn的最大值为2，故D正确．故选CD.
21．(2021·北京高三二模)已知单位向量a，b的夹角为60°，a－kb与b垂直，则k＝________.
答案　
解析　∵单位向量a，b的夹角为60°，∴a·b＝1×1×cos60°＝，∵a－kb与b垂直，∴(a－kb)·b＝a·b－kb2＝－k＝0，∴k＝.
22. (2021·河北唐山一中高三模拟)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，D，E与M，N分别是AB，AC的三等分点，且·＝－1，则tanA＝________，·＝________.

答案　　－
解析　∵＝－＝－，＝－＝－，∴·＝·＝·－2－2＝5cosA－4＝－1，∴cosA＝，∴0
本考点在近三年高考中未涉及此题型．