2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点23 任意角和弧度制、任意角的三角函数+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点23 任意角和弧度制、任意角的三角函数+答案解析，共14页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

第五章　三角函数与解三角形
考点测试23　任意角和弧度制、任意角的三角函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度
考纲
研读
1.了解任意角的概念
2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义


一、基础小题
1．若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　)
A．－ B．－ C． D．
答案　A
解析　因为角α的终边上一点的坐标为，即，所以由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－，故选A.
2．一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30°，则分针走过的度数为7×30°＝210°，因为钟表的分针长为10，所以分针扫过图形的面积是×π×102＝，故选B.
3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
答案　C
解析　因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为(　　)
A． B．±
C．－ D．－
答案　D
解析　∵cos α＝＝＝x，∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.∵α是第二象限角，∴x＝－.故选D.
5．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴∴θ为第三象限角．
6．下列结论中正确的是(　　)
A．sin300°>0 B．cos(－305°)<0
C．tan>0 D．sin10<0
答案　D
解析　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；因为3π<10<，所以10是第三象限角．故sin 300°<0，cos (－305°)>0，tan <0，sin 10<0，故D正确．
7．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A． B． C．0 D．－
答案　A
解析　由题意得f＝f＋sin ＝f＋sin ＋sin ＝f＋sin ＋sin ＋sin ＝0＋－＋＝.故选A.
8.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，则阴影部分的面积约为(　　)

A．6.33平方寸 B．6.35平方寸
C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
答案　A
解析　如图，连接OA，OB，OC，设半径为r，AD＝5寸，则OD＝r－1，在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，则sin ∠AOC＝，所以∠AOC＝22.5°，则∠AOB＝2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝＝≈66.33，△OAB的面积S2＝×10×12＝60，所以阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60＝6.33平方寸，故选A.


9．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴的正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
答案　AB
解析　由题意知sin α＜0，cos α＞0，tan α＜0.选项A，＞0；选项B，cos α－sin α＞0；选项C，sin αcos α＜0；选项D，sin α＋cos α符号不确定．故选AB.
10．(多选)下列结论中正确的是(　　)
A．若0<α<，则sin α B．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角
C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
答案　ABD
解析　若0<α<，则sin α<＝tan α，A正确；若α是第二象限角，即α∈，k∈Z，则∈，k∈Z，为第一象限或第三象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sin α＝＝，不一定等于，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其圆心角的大小为＝1弧度，D正确．故选ABD.
11．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
答案　(7＋4)∶9
解析　设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，则(R－r)sin 60°＝r，即R＝r.又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝×πr2，所以＝.
12．设角α是第三象限角，且＝－sin ，则角是第________象限角．
答案　四
解析　由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋< 二、高考小题
13．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
答案　D
解析　当α＝－时，cos 2α＝cos ＜0，A错误；当α＝－时，cos 2α＝cos ＞0，B错误；由α为第四象限角可得sin α＜0，cos α＞0，则sin 2α＝2sin αcos α＜0，C错误，D正确．故选D.
14．(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　)
A．3n
B．6n
C．3n
D．6n
答案　A
解析　单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为＝，每条边长为2sin ，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12n sin .单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan ，其周长为12n tan ，所以2π＝＝6n，则π＝3n.故选A.
15．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________．
答案　
解析　由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sin α＝，∴sin β＝sin [(2k＋1)π－α]＝sin α＝.
三、模拟小题
16．(2021·福建泉州月考)若A＝{θ|θ＝k·360°，k∈Z}，B＝{θ|θ＝k·180°，k∈Z}，C＝{θ|θ＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是(　　)
A．A＝B＝C B．C⊆B⊆A
C．A⊆B＝C D．A⊆B⊆C
答案　D
解析　集合A的元素表示终边落在x轴正半轴上的所有角，集合B的元素表示终边落在x轴上的所有角，集合C的元素表示终边落在x轴和y轴上的所有角，故选D.
17．(2021·河南焦作市高三期中)已知角α的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　因为角α的终边与300°角的终边重合，所以α＝300°＋k·360°，k∈Z，所以＝100°＋k·120°，k∈Z，令k＝0，＝100°，终边位于第二象限；令k＝1，＝220°，终边位于第三象限；令k＝2，＝340°，终边位于第四象限；令k＝3，α＝100°＋360°，终边位于第二象限…，所以的终边不可能在第一象限．故选A.
18.(2021·福建福州第三中学高三上学期第二次质量检测)如图所示，在直角三角形ABC中，A为直角，以B为圆心，AB为半径作圆弧交BC于点D，若AD将△ABC的面积分成相等的两部分，设∠ABC＝α(弧度)，则(　　)

A．sin α＝2cos α B．2sin α＝cos α
C．tan α＝α D．tan α＝2α
答案　D
解析　依题意可得S△ABC＝2S扇形ABD，所以AB·AC＝2，所以AB·AB·tan α＝2，化简可得tan α＝2α.故选D.
19．(2021·江西省上饶市高三阶段测试)已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案　B
解析　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.
20．(2021·江苏南京市第二十九中学高三期中)某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6.9 cm，BC＝7.1 cm，AC＝12.6 cm.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间(　　)

A． B．
C． D．
答案　B
解析　取AB＝BC≈7，设∠ABC＝2θ，则sin θ≈＝0.9，∴θ∈⇒2θ∈.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α＋2θ＝π，∴α∈.故选B.
21．(多选)(2021·山东省微山县第一中学月考)下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．若角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
答案　BC
解析　－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；设扇形的半径为r，r＝π，∴r＝3，扇形面积为×3×π＝，所以B正确；角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数定义，cos α＝－，所以C正确；角α为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以D不正确．
22．(多选)(2021·山西太原市高三三模)古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1(八卦模型图)抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1.则下列结论正确的是(　　)

A．·＝－
B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为
C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为
D．正八边形ABCDEFGH的面积为4
答案　ABC
解析　由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为×6π＝，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠HOA＝×2π＝，因为||＝||＝…＝||＝1，∠AOD＝3×＝，所以·＝||·||cos ＝－，所以A正确；因为∠AOF＝5×＝，所以以射线OF为终边的角的集合可以表示为，所以B正确；对于C，因为∠AOB＝，半径为1，所以弦AB所对的劣弧弧长为×1＝，所以C正确；对于D，因为S△OAB＝|OA||OB|·sin ∠AOB＝×1×1×＝，所以正八边形ABCDEFGH的面积为8×＝2，所以D错误．故选ABC.
23.(2021·上海市徐汇区南模中学高三三模)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅(1470～1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.

答案　704
解析　如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由弧长公式可得

解得
r＝，所以S扇面＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64×－×24×＝704(cm2).


一、高考大题
1．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)若角β满足sin (α＋β)＝，求cos β的值．
解　(1)由角α的终边过点P，得
sin α＝－，所以sin (α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－，
由sin (α＋β)＝，得cos (α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，得
cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
二、模拟大题
2．(2021·湖南湘潭模拟)已知＝－，且lg (cos α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解　(1)由＝－，得sin α<0，
由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，
解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
3．(2021·江西九江模拟)已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.
(1)由题意可得解得或
所以扇形的圆心角α＝＝或α＝＝6.
(2)因为2r＋l＝8，所以S扇形＝lr＝l·2r≤＝×＝4，
当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝＝2时，
扇形的面积取得最大值4，
所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
4.(2021·洛阳市高三质量监测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解　(1)由题意，可得B，
故tan α＝＝＝－.
(2)若△AOB是等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为.
(3)若α∈，则劣弧对应的扇形的面积为αr2＝α，易知S△AOB＝sin α，
故弓形AB的面积S＝α－sin α，α∈.