2023届高考数学一轮复习精选用卷 第四章 平面向量、复数 考点22 复数+答案解析

考点测试22　复数

一、基础小题

1．(－1＋i)(2i＋1)＝(　　)

A．1－i  B．1＋i  C．－3－i  D．－3＋i

答案　C

解析　由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i.故选C.

2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为(　　)

A．(1,1)   B．(1，－1)

C．(－1,1)   D．(－1，－1)

答案　B

解析　z＝＝＝1－i，故复数z＝在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)．故选B.

3．已知复数z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)为纯虚数，则实数a＝(　　)

A．2  B．－2  C.  D．－

答案　D

解析　z＝(1＋2a)＋(a－2)i，由已知得1＋2a＝0且a－2≠0，解得a＝－.故选D.

4．若复数z＝1－i，则＝(　　)

A．1  B.  C．2  D．4

答案　B

解析　由z＝1－i，得＝＝－1－i，则＝|－1－i|＝.

5．已知复数z＝i＋i2022，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　B

解析　∵i＋i2022＝－1＋i，∴i＋i2022在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，该点在第二象限．故选B.

6．若复数z＝(i为虚数单位)，则z＝(　　)

A.i  B．－  C.  D.

答案　D

解析　解法一：∵z＝＝＝＝＋i，∴＝－i，∴z＝＝.故选D.

解法二：∵z＝，∴|z|＝＝，∴z＝|z|2＝.故选D.

7. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，若z1＝zz2，则z的共轭复数＝(　　)

A.＋i   B.－i

C．－＋i   D．－－i

答案　A

解析　由题图可知z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，所以z＝＝＝＝，所以＝＋i.故选A.

8．设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为(　　)

A．(x＋1)2＋y2＝1

B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1

D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1

答案　D

解析　由题意得z＝x＋yi，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即＝1，则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.故选D.

9．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是(　　)

A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3

B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3

C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|

D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

答案　BC

解析　由复数模的概念可知，|z2|＝|z3|不能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A错误；由z1z2＝z1z3可得z1(z2－z3)＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B正确；因为|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，而2＝z3，所以|2|＝|z3|＝|z2|，所以|z1z2|＝|z1z3|，C正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝|z1|2，但z1≠z2，D错误．故选BC.

10．(多选)欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论正确的是(　　)

答案　ACD

解析　

位于第一象限，正确；对于D，enπi＝cosnπ＋isinnπ，当n为奇数时，enπi＝－1，|enπi|＝1，当n为偶数时，enπi＝1，|enπi|＝1，故enπi的模为1，正确．故选ACD.

二、高考小题

11．(2021·北京高考)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　)

A．2＋i  B．2－i  C．1－i  D．1＋i

答案　D

解析　由题意可得，z＝＝＝＝1＋i.故选D.

12．(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限．故选A.

13．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)

A．6－2i  B．4－2i

C．6＋2i  D．4＋2i

答案　C

解析　z(＋i)＝(2－i)(2＋i＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.故选C.

14．(2021·浙江高考)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　　)

A．－1  B．1  C．－3  D．3

答案　C

解析　解法一：因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3.故选C.

解法二：因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3.故选C.

15．(2021·全国甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i

C．－＋i  D．－－i

答案　B

解析　由(1－i)2z＝3＋2i，得z＝＝＝＝－1＋i.故选B.

16．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　)

A．1－2i  B．1＋2i  C．1＋i  D．1－i

答案　C

解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi,2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.

17．(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)

A．0  B．1  C.  D．2

答案　D

解析　z2＝(1＋i)2＝2i，则z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，故|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.

18．(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　D

解析　因为＝＝＋i，所以复数的虚部为.故选D.

19．(2021·天津高考)i是虚数单位，复数＝________.

答案　4－i

解析　＝＝＝4－i.

20．(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.

答案　2

解析　解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，∵|z1|＝|z2|＝2，∴a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，∵z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝＋i，∴a＋c＝，b＋d＝1，∴(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋2ac＋b2＋d2＋2bd＝4，∴2ac＋2bd＝－4，∵z1－z2＝a＋bi－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i，

∴|z1－z2|＝

＝

＝

＝＝2.

解法二：∵|z1|＝|z2|＝2，可设z1＝2cosθ＋2sinθ·i，z2＝2cosα＋2sinα·i，∴z1＋z2＝2(cosθ＋cosα)＋2(sinθ＋sinα)i＝＋i，

∴两式平方作和，得4(2＋2cosθcosα＋2sinθsinα)＝4，化简得cosθcosα＋sinθsinα＝－.

∴|z1－z2|＝|2(cosθ－cosα)＋2(sinθ－sinα)·i|

＝

＝＝＝2.

三、模拟小题

21．(2021·山西五市联考)已知复数z满足＝1－i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　A

解析　由题意得z＝＝(1－i)i＝1＋i，即z在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限．故选A.

22．(2021·福州三中高三质量检测二)已知复数z＝(1＋2i)·i2021，则＝(　　)

A．－2－i   B．－2＋i

C．2－i   D．2＋i

答案　A

解析　z＝(1＋2i)·i2021＝(1＋2i)i＝－2＋i，所以＝－2－i.故选A.

23．(2021·山东青岛自主检测)若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝2－i，则复数＝(　　)

A．－1   B．1

C．－＋i   D.－i

答案　C

解析　依题意可得z2＝－2－i，所以＝＝＝－＋i.故选C.

24．(2021·广东茂名五校第三次联合考试)已知(a＋bi)(1－i)＝2＋i(a，b∈R)，则ab＝(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　C

解析　因为(a＋bi)(1－i)＝(a＋b)＋(b－a)i，所以解得a＝，b＝，从而ab＝.故选C.

25．(多选)(2021·湖北高三月考)设z1，z2是复数，则(　　)

A.＝1－2

B．若z1z2∈R，则z1＝2

C．若|z1－z2|＝0，则1＝2

D．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0

答案　AC

解析　设z1＝a＋bi，z2＝x＋yi，a，b，x，y∈R，＝(a－x)＋(b－y)i＝(a－x)－(b－y)i＝a－bi－(x－yi)＝1－2，A成立；|z1－z2|＝|(a－x)＋(b－y)i|＝0，则(a－x)2＋(b－y)2＝0，所以a＝x，b＝y，从而z1＝z2，所以1＝2，C成立；对于B，取z1＝i，z2＝2i，满足z1z2∈R，但结论不成立；对于D，取z1＝i，z2＝1，满足z＋z＝0，但结论不成立．故选AC.

26．(多选)(2021·江苏淮安高三入学考试)已知复数z＝(m2－1)＋(m－)(m－1)i(m∈R)，则下列说法正确的是(　　)

A．若m＝0，则共轭复数＝1－i

B．若复数z＝2，则m＝

C．若复数z为纯虚数，则m＝±1

D．若m＝0，则4＋2z＋z2＝0

答案　BD

解析　对于A，m＝0时，z＝－1＋i，则＝－1－i，故A错误；对于B，若复数z＝2，则满足解得m＝，故B正确；对于C，若复数z为纯虚数，则满足解得m＝－1，故C错误；对于D，若m＝0，则z＝－1＋i，4＋2z＋z2＝4＋2(－1＋i)＋(－1＋i)2＝0，故D正确．故选BD.

本考点在近三年高考中未涉及此题型．