2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点25 三角函数的图象与性质+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点25 三角函数的图象与性质+答案解析，共14页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

考点测试25　三角函数的图象与性质

高考
概览
本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度
考纲
研读
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性
2．理解正弦函数、余弦函数在R上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(k∈Z)内的单调性


一、基础小题
1．函数y＝3cos 的最小正周期是(　　)
A． B． C．2π D．5π
答案　D
解析　由T＝＝5π，知该函数的最小正周期为5π.故选D.
2．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)
A．2 B．3
C．＋2 D．2－
答案　B
解析　因为函数y＝2cos x的定义域为，所以函数y＝2cos x的值域为[－2，1]，所以b－a＝1－(－2)＝3，故选B.
3．若直线x＝aπ(0 A．
B．
C．
D．
答案　B
解析　因为直线x＝aπ(0 4．已知函数f(x)＝sin ，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　因为x∈，所以x＋∈，因为f(x)＝sin 的值域是，所以由正弦函数的图象和性质可知≤a＋≤，解得a∈.故选D.
5．函数f(x)＝sin 2x＋sin x在[－π，π]的图象大致是(　　)

答案　A
解析　显然f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D；在区间上，sin 2x＞0，sin x＞0，即f(x)＞0，排除B，C.故选A.
6．下列函数中同时具有以下性质的是(　　)
①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为.
A.y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　C
解析　因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A；当x＝时，对于B，y＝sin ＝0，对于D，y＝sin ＝，又图象关于直线x＝对称，从而排除B，D，经验证y＝sin 同时具有性质①②③④，故选C.
7．(多选)下列关于函数y＝tan 的说法，正确的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
答案　AB
解析　令kπ－ 8．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为1
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递减
答案　ABC
解析　∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，最大值为1，A，B正确；∵f(－x)＝－cos (－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；∵f1(x)＝cos 2x在上单调递减，故f(x)＝－cos 2x在上单调递增，D错误．故选ABC.
9．函数y＝sin2x的图象可由y＝cos2x的图象向左平移φ个单位长度得到，则正数φ的最小值为________．
答案　
解析　函数y＝sin2x＝＝的图象可由y＝cos2x＝的图象向左平移个单位长度得到，故正数φ的最小值为.
二、高考小题
10．(2021·北京高考)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为
D．偶函数，最大值为
答案　D
解析　因为f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)＝cos x－cos 2x＝f(x)，且函数定义域为R，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos 2x＋cos x＋1＝－22＋，所以当cos x＝时，f(x)取最大值.故选D.
11．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sin .给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案　B
解析　因为f(x)＝sin ，所以最小正周期T＝＝2π，故①正确；f＝sin ＝sin ＝≠1，故②不正确；将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，故③正确．故选B.
12．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B． C．1 D．
答案　A
解析　由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.
13．(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案　C
解析　①中，f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确．②中，当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函数单调递减，②错误.③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π.又f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin |x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.
14．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
答案　B
解析　根据题意，有f(x)＝cos2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，且最大值为f(x)max＝＋＝4.故选B.
15．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A． B． C．π D．2π
答案　C
解析　由已知得f(x)＝＝＝sin x cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
16．(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝对称；
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
答案　②③
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f＝sin ＋＝cos x＋，f＝sin ＋＝cos x＋，则f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x＜0时，sin x＜0，则f(x)＝sin x＋＜0＜2，命题④错误．
17．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin －3cos x的最小值为________．
答案　－4
解析　∵f(x)＝sin －3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cos x，则t∈[－1，1]，g(t)＝－2t2－3t＋1.又函数g(t)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，∴当t＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值－4.
18．(2019·北京高考)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．
答案　
解析　由降幂公式得f(x)＝sin22x＝＝－cos 4x＋，所以最小正周期T＝＝.
三、模拟小题
19．(2021·浙江温州中学高三月考)函数f(x)＝sin 2x＋sin 3x的最小正周期为(　　)
A．π B．2π C．3π D．6π
答案　B
解析　y＝sin 2x的最小正周期为π，函数y＝sin 3x的最小正周期为，π与的最小公倍数为2π，所以函数f(x)＝sin 2x＋sin 3x的最小正周期为2π.故选B.
20．(多选)(2021·湖南长沙第一中学模拟)已知函数f(x)＝则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的值域是[0，1]
B．f(x)是以π为最小正周期的周期函数
C．f(x)在区间上单调递增
D．f(x)在[0，2π]上有2个零点
答案　AD
解析　f(x)＝

作出函数f(x)的大致图象如图所示：

由图可知f(x)的值域是[0，1]，故A正确；因为f(π)＝|sin π|＝0，f(2π)＝|cos 2π|＝1，所以f(2π)≠f(π).所以π不是f(x)的最小正周期，故B错误；由图可知f(x)在区间上单调递增，在上单调递减，故C错误；由图可知，在[0，2π]上，f(π)＝f＝0，所以f(x)在[0，2π]上有2个零点，故D正确．故选AD.
21．(多选)(2021·福建福州高三调研)已知函数f(x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)，下列关于该函数的结论中正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期是2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)是区间上的增函数
答案　ABD
解析　f(x＋2π)＝sin [sin (x＋2π)]＋cos [cos (x＋2π)]＝sin (sin x)＋cos (cos x)＝f(x)，故A正确；f(π－x)＝sin [sin (π－x)]＋cos [cos (π－x)]＝sin (sin x)＋cos (－cos x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)＝f(x)，故B正确；由于sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]，所以sin (sin x)＜1，cos (cos x)≤1，故f(x)＝sin (sin x)＋cos (cos x)＜2，C错误；当x∈时，sin x∈(0，1)且单调递增，故y＝sin (sin x)是区间上的增函数，同理可判断，y＝cos (cos x)是区间上的增函数，故f(x)是区间上的增函数，D正确．
22．(2021·福建厦门高三模拟)用MI表示函数y＝sin x在闭区间I上的最大值，若正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则M[0，a]＝________；a的取值范围为________．
答案　1　
解析　作出函数y＝sin x的图象，如图所示：

显然，M[0，a]的值为1，∵M[0，a]≥2M[a，2a]，∴M[a，2a]的值为，作出直线y＝与y＝sin x相交于A，B，C三点，且A，B，C，由图象可得⇒≤a≤，故a的取值范围为.

一、高考大题
1．(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值．
解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin ＋cos
＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函数y＝的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f＝sin ＋cos ＝sin x，
所以y＝f(x)f＝sin x(sin x＋cos x)
＝(sin x cos x＋sin2x)＝＝sin ＋.
当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝，即当x＝时，函数y＝f(x)f在上取得最大值，且最大值为1＋.
2．(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域．
解　(1)因为f(x＋θ)＝sin (x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin (x＋θ)＝sin (－x＋θ)，
即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，
故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos .
因此，所求函数的值域是.
二、模拟大题
3．(2021·荆州模拟)已知函数f(x)＝2sin .
(1)求函数f(x)的最大值及相应的x的取值的集合；
(2)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心．
解　(1)当sin ＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，即当x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值，为2；
则使函数f(x)取得最大值的x的集合为.
(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.
即函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z.
由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
即函数f(x)的图象的对称中心为，k∈Z.
4．(2021·安徽亳州高三质量检测)已知函数f(x)＝cos x(sin x－cos x).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解　(1)由题意得f(x)＝cos x sin x－cos2x
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin －.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为1－.
(2)令z＝2x－，则函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z；
单调递减区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝，C＝.
易知A∩B＝，A∩C＝，所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
5．(2021·信阳高三阶段考试)已知向量m＝(sin ωx－cos ωx，1)，n＝，设函数f(x)＝m·n，若函数f(x)的图象关于直线x＝对称且ω∈[0，2].
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)先列表，再用五点法画出f(x)在区间上的大致图象．
解　(1)f(x)＝(sin ωx－cos ωx，1)·＝sin ωx cos ωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－cos 2ωx＝sin .
∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋1，k∈Z.
又ω∈[0，2]，∴ω＝1，∴f(x)＝sin .
令2kπ＋≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)列表如下：
2x－
－π
－
0

π
x
－
－



f(x)
0
－1
0
1
0
∴函数f(x)在区间上的大致图象如图所示．