2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点26 函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象与性质+答案解析

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考点测试26　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、基础小题1．已知函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)A．关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))对称B．关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称C．关于直线x＝ eq \f(π,12)对称D．关于直线x＝ eq \f(π,3)对称答案　C解析　∵T＝ eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，于是f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,3)))＝1≠0，故A错误，C正确；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))≠0，故B错误；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋\f(π,3)))≠±1，故D错误．故选C.2．函数y＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))具有的性质是(　　)A．最大值为 eq \r(3)，图象关于直线x＝ eq \f(π,6)对称B．最大值为1，图象关于直线x＝ eq \f(π,6)对称C．最大值为 eq \r(3)，图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称D．最大值为1，图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称答案　C解析　因为y＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－sin x＋ eq \f(\r(3),2)cos x－ eq \f(1,2)sin x＝ eq \r(3)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，所以函数的最大值为 eq \r(3)，排除B，D；令 eq \f(π,6)－x＝kπ(k∈Z)，求得x＝ eq \f(π,6)－kπ(k∈Z)，所以函数图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称．故选C.3.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，φ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))))的部分图象如图所示，且f(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是(　　)A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，\f(13,12))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)，\f(17,12)))C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，\f(13,12))) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)，\f(17,12)))答案　B解析　由题意知，f(x)＝sin (ωx＋φ)，∵f(0)＝sin φ＝ eq \f(\r(3),2)，φ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴φ＝ eq \f(2π,3)，∵x∈[0，2π]，∴ eq \f(2π,3)≤ωx＋ eq \f(2π,3)≤2πω＋ eq \f(2π,3)，∴ eq \f(5π,2)≤2πω＋ eq \f(2π,3)0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))单调递增；④ ω的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(29,10))).其中所有正确结论的编号是(　　)A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④答案　D解析　已知f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,5)))(ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋ eq \f(π,5)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，2πω＋\f(π,5)))，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋ eq \f(π,5)0，|φ|0)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上是单调函数，所以T＝ eq \f(2π,ω)≥2且f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上也一定单调，所以f(0)＝f(1)，则f(1)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝0，故f eq \f(1＋\f(3,2),2)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝0，作出简图如图1所示，由图易知f(x)＝2sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x＋\f(π,6)))，因为将曲线y＝f(x)向右平移1个单位长度，得到曲线y＝g(x)，所以g(x)＝－2cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x))，函数y＝xg(x)－2的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与y＝ eq \f(2,x)的图象的交点个数，即函数y＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x))的图象与y＝－ eq \f(1,x)的图象的交点个数，作出简图如图2所示，故函数y＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)x))的图象与y＝－ eq \f(1,x)的图象在[－4，4]上的交点个数为5，所以函数y＝xg(x)－2在区间[－4，4]上的零点个数为5，故选C.19.(多选)(2021·辽宁锦州黑山中学月考)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(0＜φ＜π)，则下列说法正确的是(　　)A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20(6≤x≤14)D．该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃答案　ABD解析　对于A，由图象可知，该函数的最小正周期为T＝2×(14－6)＝16，A正确；对于B，该函数在x＝14时取得最大值，∴该函数图象的一条对称轴是直线x＝14，B正确；对于C，由图象可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋B＝30，,－A＋B＝10，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝10，,B＝20，))ω＝ eq \f(2π,T)＝ eq \f(2π,16)＝ eq \f(π,8)，∵图象经过点(14，30)，∴30＝10sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×14＋φ))＋20，∴sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)＋φ))＝1.∵0＜φ＜π，∴ eq \f(7π,4)＜ eq \f(7π,4)＋φ＜ eq \f(11π,4)，则 eq \f(7π,4)＋φ＝ eq \f(5π,2)，∴φ＝ eq \f(3π,4)，∴函数解析式为y＝10sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20(0≤x≤24)，C错误；当x＝12时，y＝10sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)×12＋\f(3π,4)))＋20＝10× eq \f(\r(2),2)＋20≈27，故D正确．20.(多选)(2021·福建泉州科技中学高三第一次月考)如图，点P是函数f(x)＝ eq \f(π,2)sin (ωx＋φ)(x∈R，ω>0)图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点，若M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，且 eq \o(PM,\s\up13(→))· eq \o(PN,\s\up13(→))＝0，则(　　)A．N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)) B．ω＝1C．P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D．φ＝ eq \f(2π,3)答案　BC解析　由题知点P的纵坐标为 eq \f(π,2)，又 eq \o(PM,\s\up13(→))· eq \o(PN,\s\up13(→))＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，所以MN＝2yp＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以 eq \f(2π,ω)＝2π，ω＝1，故B正确；所以xP＝xM＋ eq \f(T,4)＝ eq \f(π,3)，故C正确；xN＝xM＋ eq \f(T,2)＝ eq \f(5π,6)，故A错误，将P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))代入函数解析式，可得sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝1，φ＝ eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，故D错误．故选BC.21.(多选)(2021·湖南师大附中高三第二次月考)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　)A．函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－π))上单调递增B．函数f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0))成中心对称C．函数f(x)的图象向右平移 eq \f(5π,12)个单位后关于直线x＝ eq \f(5π,6)成轴对称D．若圆半径为 eq \f(5π,12)，则函数f(x)的解析式为f(x)＝ eq \f(\r(3)π,6)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) 答案　BD解析　由图易得点C的横坐标为 eq \f(π,3)，所以f(x)的周期T＝π，所以ω＝2，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝0，0