2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点28 简单的三角恒等变换+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点28 简单的三角恒等变换+答案解析，共12页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试28　简单的三角恒等变换 高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)一、基础小题1．若cos＝－，则cos2α＝(　　)A．－ B．－C. D．答案　C解析　由cos＝－sinα＝－，得sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.故选C.2．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin2θ＝(　　)A. B．C. D．答案　C解析　因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cosθ.又|θ|<，故sinθ＝，cosθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝，故选C.3．已知tan(α＋β)＝，tanβ＝，则tan＝(　　)A. B．－C. D．答案　B解析　因为tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝，所以tan＝＝＝－，故选B.4．已知cos＝，则cosx＋cos＝(　　)A. B．－C. D．±答案　A解析　因为cos＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝＝cos＝×＝.故选A.5．已知函数f(x)＝sin2xcosφ＋2cos2xsinφ－sinφ，若对任意x∈R，f(x)＝f，则实数φ的取值可以是(　　)A．－ B．－C. D．答案　A解析　函数f(x)＝sin2xcosφ＋2cos2xsinφ－sinφ＝sin2xcosφ＋(2cos2x－1)sinφ＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ＝sin(2x＋φ)，∵对任意x∈R，f(x)＝f，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－，k∈Z，故选A.6．(多选)下列选项中，值为的是(　　)A．cos36°cos72° B．sinsinC.＋ D．－cos215°答案　AB解析　cos36°cos72°＝＝＝＝，故A正确；sin·sin＝sincos＝×2sincos＝sin＝，故B正确；＋＝＝＝＝＝4，故C错误；－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB.7．cos20°cos40°cos80°的值为________．答案　解析　cos20°cos40°cos80°＝＝＝.8．已知sinβ＝，β∈，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝________.答案　－2解析　因为sinβ＝，β∈，所以cosβ＝－.由sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.二、高考小题9．(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tanα＝(　　)A. B．C. D．答案　A解析　解法一：因为tan2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，因为α∈，所以cosα≠0，sinα＝，所以cosα＝，tanα＝＝.故选A.解法二：因为tan2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，因为α∈，所以cosx≠0，sinα＝，所以cosα＝，tanα＝＝.故选A.10．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)A. B．C. D．答案　B解析　由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.11．(2020·江苏高考)已知sin2＝，则sin2α的值是________．答案　解析　∵sin2＝2＝(1＋sin2α)，∴(1＋sin2α)＝，∴sin2α＝.12．(2020·北京高考)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．答案　解析　因为f(x)＝cosφsinx＋(sinφ＋1)·cosx＝sin(x＋θ)，所以＝2，解得sinφ＝1，故可取φ＝.三、模拟小题13．(2021·福建南平市期中)已知tanα＝－2，则的值为(　　)A. B．C.－ D．－答案　D解析　＝＝2sin2α＝4sinαcosα＝＝＝＝－.故选D.14．(2022·广东韶关市期末)已知α是第一象限角，且满足sin＝－，则cos2α＝(　　)A. B．－C. D．±答案　B解析　∵sin＝－，∴cos＝－，∵α是第一象限角，∴＋α是第二象限角，则sin＝，∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－.故选B.15．(2021·黑龙江大庆市铁人中学高三四模)已知函数f(x)＝sinx＋2cosx，若直线x＝θ是曲线y＝f(x)的一条对称轴，则cos2θ＝(　　)A. B．C. D．答案　A解析　∵f(x)＝sinx＋2cosx＝＝sin(x＋φ)，且直线x＝θ是曲线y＝f(x)的一条对称轴，∴sin(θ＋φ)＝±1，∴θ＋φ＝＋kπ，k∈Z.∴θ＝－φ＋＋kπ，k∈Z.∴2θ＝－2φ＋π＋2kπ，k∈Z，∵cos2φ＝2cos2φ－1＝－，∴cos2θ＝－cos2φ＝.故选A.16．(2021·云南西双版纳模拟)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　　)A. B．C.－ D．－答案　C解析　＝(sinα＋2cosα)2＝sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，再分子、分母同时除以cos2α，整理得＝⇒3tan2α－8tanα－3＝0，故tanα＝3或tanα＝－，代入tan2α＝，得tan2α＝－.17．(多选)(2021·湖南省长沙市雅礼中学高三月考(二))已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x，则(　　)A．函数f(x)在区间上为增函数B．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴C．函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到D．对任意x∈R，恒有f(x＋π)＝f(x)答案　ABD解析　f(x)＝sin2x－＝sin－，当x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故A正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，显然直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确；函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin＝sin的图象，故C错误；f(x)的最小正周期为π，故D正确．故选ABD.18．(多选)(2021·重庆巴蜀中学高考适应性第三次月考)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωx·cosωx－1(ω∈Z*)(x∈R)，且f(x)在区间上具有单调性，在区间上有且仅有2个极值点，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)的最大值为2B．ω＝4C．f(x)的一条对称轴方程为x＝D．f(x)的单调递增区间为，k∈Z答案　AD解析　f(x)＝2·＋sin2ωx－1＝2sin，∵f(x)在区间上具有单调性，∴≤⇒ω≤2，∵f(x)在区间上有且仅有2个极值点，f′(x)＝4ωcos，2ωx＋∈，则<＋≤⇒<ω≤，故<ω≤2，又ω∈Z*，∴ω＝2，经检验，ω＝2时，f(x)＝2sin在区间上具有单调性，B错误；由上述可知f(x)＝2sin，故f(x)的最大值为2，A正确；当x＝时，f(x)＝2sin＝，不满足条件，C错误；令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，则－＋≤x≤＋，k∈Z，D正确．故选AD.19．(2021·辽宁省锦州市黑山中学高三月考)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(－3，1)，则sin＝________.答案　解析　cosθ＝－，sinθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝，sin2θ＝2sinθcosθ＝－，所以sin＝cos2θ·＋sin2θ·＝.20．(2021·江苏宿迁沭阳如东中学高三上学期第一次调研)函数f(x)＝cos2x＋|sinx|(x∈R)的最小值为________．答案　0解析　f(x)＝－2sin2x＋|sinx|＋1＝－2|sinx|2＋|sinx|＋1，令|sinx|＝t∈[0,1]，y＝－2t2＋t＋1，t∈[0,1]，当t＝1时，y取最小值为0，故f(x)的最小值为0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·辽宁省葫芦岛协作校高三第一次考试)已知锐角α满足tan(π＋2α)＝－.(1)求tan；(2)求sin2α＋3cos2α.解　(1)因为tan(π＋2α)＝－，所以tan2α＝－，所以＝－，解得tanα＝－或tanα＝2.又α为锐角，所以tanα＝2.故tan＝＝.(2)因为sin2α＋3cos2α＝，所以sin2α＋3cos2α＝＝.2．(2021·吉林二中高三上学期9月份月考)已知4sin2α＋3cos2α＝0，<α<，－<β<0.(1)求cos2α的值；(2)若cosβ＝，求cos(α－β)的值．解　(1)∵4sin2α＋3cos2α＝0，∴tan2α＝－.∵<α<，∴2α∈，∴tan2α＝－＝，且cos2α<0，求得cos22α＝，∴cos2α＝－.(2)由(1)可得cos2α＝2cos2α－1＝－，又α∈，∴cosα＝.再结合sin2α＋cos2α＝1，可得sinα＝.∵cosβ＝，－<β<0，∴sinβ＝－＝－.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.3．(2021·山东淄博市名校联考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx－，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝，α∈，求sin2α的值．解　(1)因为f(x)＝sin2x＋sinxcosx－＝＋sin2x－＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，可得函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)若f(α)＝，即sin＝，可得sin＝>0，因为α∈，2α－∈，所以2α－∈，可得cos＝＝，所以sin2α＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.4．(2021·北京清华附中高三上学期10月份月考)已知函数f(x)＝2cos2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数f(x)≥0在区间上恒成立，求m的取值范围．解　(1)由f(x)＝2cos2＋cos2x，由二倍角公式得2cos2＝cos2＋1＝sin2x＋1，则f(x)＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(2)由f(x)≥0，则2sin＋1≥0，即sin≥－，所以－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，x∈，f(x)≥0恒成立，所以－<m≤，所以m的取值范围是.