2023届高考数学一轮复习精选用卷 第七章 平面解析几何 考点42 双曲线+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第七章 平面解析几何 考点42 双曲线+答案解析，共24页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

考点测试42　双曲线

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中、高等难度
考纲
研读
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)
2．了解双曲线的简单应用
3．理解数形结合的思想

一、基础小题
1．已知双曲线－＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C.± D．±
答案　D
解析　由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±＝±.故选D.
2．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)
A.－＝1 B．－＝1(x≥4)
C.－＝1 D．－＝1(x≥3)
答案　D
解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16.∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
答案　A
解析　∵双曲线－＝1的焦距为10，
∴c＝5＝.①
又双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②
由①②，解得a＝2，b＝，
则C的方程为－＝1.故选A.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A(O为坐标原点)，且|OA|＝2|AF|，则双曲线C的离心率e为(　　)
A. B．
C. D．2
答案　B
解析　由题意可得tan∠AOF＝＝＝，渐近线方程为y＝±x，∴＝，e2＝＝＝＝，故e＝.故选B.
5．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4
C.6 D．8
答案　B
解析　由双曲线的方程，得a＝1，c＝，由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|＝(2)2，解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
6．(多选)已知曲线C的方程为－＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．对任意实数k，曲线C都不可能为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
答案　BC
解析　对于A，当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，该曲线为椭圆，焦距2c＝2＝4，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，该曲线为双曲线，则a＝，c＝，其离心率e＝＝，B正确；对于C，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则不等式组无解，故不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C正确；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为－＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y＝±x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝＝＝≠3，所以双曲线C的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选BC.
7．(多选)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(　　)
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
答案　AC
解析　对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A正确，B错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D错误．故选AC.
8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离为9，则点P到焦点F2的距离为________．
答案　17
解析　解法一：∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴||PF1|－|PF2||＝8.∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，∴|PF2|＝17.
解法二：若P在右支上，则|PF1|≥a＋c＝4＋6＝10>9，∴P在左支上．∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17.
9．直线y＝k(x＋6)(k>0)与双曲线E：－＝1(a>0，b>0)及其渐近线从左至右依次交于点A，B，C，D，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为4，则△F2CD与△F1AB的面积之比为________．
答案　2
解析　由得x2－－1－＝0，由得x2－－＝0，由以上两式可知，xA＋xD＝xB＋xC，故AD，BC具有相同的中点，故|AB|＝|CD|，又直线y＝k(x＋6)过定点G(－6,0)，如图，过F1，F2作直线y＝k(x＋6)的垂线，垂足分别为N，M，

由焦距为4可得F1(－2，0)，F2(2,0)，则|GF2|＝2|GF1|.所以＝＝＝2.
二、高考小题
10．(2021·北京高考)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
答案　A
解析　∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.故选A.
11．(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos60°，得4c2＝7a2，所以C的离心率e＝＝.故选A.
12．(2021·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|.则双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C.2 D．3
答案　A
解析　设双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－c，令x＝－c，则－＝1，解得y＝±，所以|AB|＝，又因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以|CD|＝，所以＝，即c＝b，所以a2＝c2－b2＝c2，所以双曲线的离心率e＝＝.故选A.
13．(2021·浙江高考)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是(　　)
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
答案　C
解析　因为函数f(x)＝ax2＋b，所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，所以[f(s)]2＝f(s－t)f(s＋t)，即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，得t＝0或2as2－at2＝2b，即t＝0或－＝1，易知点(s，t)的轨迹是直线和双曲线．故选C.
14．(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
答案　D
解析　由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的斜率为－b，又双曲线的渐近线的方程为y＝±x，所以－b＝－，－b×＝－1.因为a＞0，b＞0，所以a＝1，b＝1.故选D.
15．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)
A．1 B．2
C.4 D．8
答案　A
解析　∵＝，∴c＝a，根据双曲线的定义可得||F1P|－|F2P||＝2a，∵S△PF1F2＝|F1P|·|F2P|＝4，∴|F1P|·|F2P|＝8.∵F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝(2c)2，∴(|F1P|－|F2P|)2＋2|F1P|·|F2P|＝4c2，即(2a)2＋2×8＝4(a)2，解得a＝1.故选A.
16．(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C.16 D．32
答案　B
解析　∵直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，双曲线的渐近线方程是y＝±x，不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立
解得故D(a，b)．联立解得故E(a，－b)．∴|ED|＝2b.∴△ODE的面积为S△ODE＝a×2b＝ab＝8.∵双曲线的焦距为2c＝2≥2＝2＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为8.故选B.
17．(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B．
C.2 D．
答案　A
解析　设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝.故选A.

18．(2019·全国Ⅲ卷)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)
A. B．
C.2 D．3
答案　A
解析　双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
19．(2018·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C.2 D．4
答案　B
解析　因为双曲线的一条渐近线为y＝x，所以tan∠FON＝，所以∠FON＝30°，∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是|FN|＝|OF|＝2，|FM|＝|OF|＝1，所以|MN|＝3.故选B.

20．(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2
C. D．
答案　C
解析　由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，∵在△PF1F2中，
cos∠PF2O＝
＝，
∴＝⇒c2＝3a2，∴e＝.故选C.
21．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
答案　C
解析　解法一：∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴双曲线的方程为－＝1.故选C.
解法二：如图，设双曲线的右焦点为F(c,0)，一条渐近线为y＝x，则F到该渐近线的距离d＝＝b，又d1＋d2＝6，由梯形中位线可知2d＝d1＋d2，即2b＝6，b＝3，∵双曲线离心率为2，∴e＝＝＝2，∴a2＝3.∴双曲线的方程为－＝1.故选C.

22．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
23．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________．
答案　4
解析　双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
24．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
答案　(3,0)　
解析　在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.
25．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案　2
解析　解法一：由＝，得A为F1B的中点．

又O为F1F2的中点，
∴OA∥BF2.
又·＝0，
∴∠F1BF2＝90°.
∴|OF2|＝|OB|，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图1所示，不妨设B.
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝ ＝2.
解法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.

如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．又＝，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2.
三、模拟小题
26．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)已知F1，F2分别是双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则点P的横坐标为(　　)
A．±1 B．±
C.± D．±2
答案　C
解析　由题设，渐近线为y＝±x，不妨令P，而F1(－2,0)，F2(2,0)，∴＝，＝，又·＝x－4＋＝0，∴x0＝±.故选C.

27．(2022·湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足|AF|>2|BF|，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)
A．1 C. 答案　B
解析　设双曲线半焦距为c，因BF⊥AF，则由得|BF|＝|y|＝，而|AF|＝a＋c，于是得a＋c>2·，即a＋c>2·，整理得a>c，从而有e＝<，又e>1，所以双曲线离心率e的取值范围是1 28．(2022·湖北黄石高三上调研)P为双曲线x2－y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的最小值为(　　)
A．3 B．4
C.5 D．9
答案　C
解析　如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r＝2，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－4，则当点P位于双曲线左支的顶点时，||2－4最小，即·最小．此时·的最小值为(1＋2)2－4＝5.故选C.

29．(2022·重庆实验外国语学校高三上入学考试)如图，O是坐标原点，P是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且|QF|＝2|FR|，则E的离心率为(　　)

A. B．
C. D．
答案　B
解析　如图，令双曲线E的左焦点为F′，连接PF′，QF′，RF′，由对称性可知，点O是线段PQ的中点，则四边形PFQF′是平行四边形，

而QF⊥FR，于是有▱PFQF′是矩形，设|FR|＝m，则|PF′|＝|FQ|＝2m，|PF|＝2m－2a，|RF′|＝m＋2a，|PR|＝3m－2a，在Rt△F′PR中，(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝或m＝0(舍去)，从而有|PF′|＝，|PF|＝，Rt△F′PF中，2＋2＝4c2，整理得＝，e＝＝，所以双曲线E的离心率为.故选B.
30．(2022·河北沧州第一中学等十五校高三上摸底考试)已知F1，F2是双曲线C：－y2＝1的两个焦点，点M在直线x－y＋3＝0上，则|MF1|＋|MF2|的最小值为(　　)
A．2 B．6
C. D．5
答案　C
解析　由双曲线C：－y2＝1可得a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，可得c＝2，

所以F1(－2，0)，F2(2,0)，设点F2(2,0)关于x－y＋3＝0对称的点为P(m，n)，由可得所以P(－3，5)，所以|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|≥|PF1|，当且仅当P，M，F1三点共线时等号成立，|PF1|＝＝，所以|MF1|＋|MF2|的最小值为，故选C.
31．(多选)(2022·辽宁朝阳建平县高三上学期第一次联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足＋＋＝0(其中O为坐标原点)，则(　　)
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为
C．||＝1
D．△OMN的面积为6
答案　ABD
解析　如图，设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P，由题可知|OM|＝c＝，则P(0，b)，由＋＋＝0得点E为△OMN的重心，

可得|OE|＝|OP|，即a＝b，＝＝，a＝2，b＝3，e2－1＝，解得e＝.双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，||＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6.故选ABD.
32．(多选)(2022·湖北襄阳五中高三开学考试)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y＝x，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为∠F1PF2的平分线．则下列结论正确的是(　　)
A．双曲线的方程为－＝1
B.＝2
C．|＋|＝3
D．点P到x轴的距离为
答案　ABD
解析　∵F1(－c,0)到y＝x距离为3，∴＝3，解得c＝6，又渐近线方程为y＝x，则＝，结合a2＋b2＝c2可解得a＝3，b＝3，则双曲线的方程为－＝1，故A正确；∵PQ为∠F1PF2的平分线，∴＝＝，又＝＝＝2，∴＝2，故B正确；由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝6，则可得|PF1|＝12，|PF2|＝6，则在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝，则|＋|2＝2＋2·＋2＝122＋2×12×6×＋62＝216，则|＋|＝6，故C错误；在△PF1F2中，sin∠F1PF2＝＝，设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝×|F1F2|×d＝|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2，即×12×d＝×12×6×，解得d＝，故D正确．故选ABD.
33．(2022·湖南娄底双峰县第一中学高三上学期入学摸底)双曲线x2－my2＝m(m>0)的一条渐近线与y＝2x垂直，右焦点为F，则以原点为圆心，|OF|为半径的圆的面积为________．
答案　5π
解析　由x2－my2＝m(m>0)可得－y2＝1，所以a＝，b＝1，所以渐近线方程为y＝±x＝±x，因为双曲线x2－my2＝m(m>0)的一条渐近线与y＝2x垂直，所以－×2＝－1，可得m＝4，所以c＝＝＝，所以右焦点为F(，0)，所以|OF|＝，以|OF|为半径的圆的面积为π×()2＝5π.
34．(2021·上饶模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积为________．
答案　4
解析　由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知

|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|AB|＝|BF1|，∴△F1AB为等腰三角形，
∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，
∴△F1AB为等腰直角三角形．
∴|AB|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2.∴S△F1AB＝|AB|·|BF1|＝×2×2＝4.

一、高考大题
1．(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
解　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得(16－k)x2－2k1x－2－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
易知16－k≠0，则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝(1＋k)
＝(1＋k)
＝(1＋k)－·＋＝.
同理得|TP|·|TQ|＝.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以＝，
所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
二、模拟大题
2．(2021·湖南岳阳第一次模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率为，点P(4，)在C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点(1,0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得·为常数？若存在，求出点Q的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
解　(1)由题意，得
解得a2＝4，b2＝1.
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，设定点Q(t,0)，
联立得(m2－4)y2＋2my－3＝0.
∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，解得m2＞3且m2≠4.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝－＝－4－.
∴·＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)
＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝－4－＋t·－＋t2＝－4＋t2＋为常数，与m无关，
∴8t－23＝0，即t＝，此时·＝.
∴在x轴上存在定点Q，使得·为常数.
3．(2022·广东珠海高三摸底)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(，0)，且经过点T.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点A是C上一定点，过点B(0,1)的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若kAP＋kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．
解　(1)由题意a2＋b2＝c2＝2.
且－＝1.联立解得a＝b＝1，所以双曲线C的标准方程为x2－y2＝1.
(2)设A(m，n)，过点B的动直线为：y＝tx＋1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1－t2)x2－2tx－2＝0，
由1－t2≠0且Δ>0，解得t2<2且t2≠1，所以x1＋x2＝，x1x2＝，
kAP＋kAQ＝λ，即＋＝λ，即＋＝λ，
化简得(2t－λ)x1x2＋(－mt＋1－n＋λm)(x1＋x2)－2m＋2mn－λm2＝0，
所以(2t－λ)＋(－mt＋1－n＋λm)－2m＋2mn－λm2＝0，
化简得m(λm－2n)t2＋2(λm－n－1)t＋2λ－2m＋2mn－λm2＝0，
由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，
所以
如果m＝0，那么n＝－1，此时A(0，－1)不在双曲线C上，舍去．
因此m≠0，从而λm＝2n＝n＋1，所以n＝1，代入2λ－2m＋2mn－λm2＝0，
得2λ＝λm2，解得m＝±，此时A(±，1)在双曲线C上．
综上，A(，1)，λ＝或A(－，1)，λ＝－.
4. (2022·广东普通高中高三阶段性质量检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为＋1.

(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l：y＝kx－1与双曲线E的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
解　(1)因为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)为等轴双曲线，可得a＝b.
设双曲线的焦距为2c，c>0，
故c2＝a2＋b2＝2a2，即c＝a.
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将xB＝c＝a代入双曲线的方程可得|yB|＝a，故|BC|＝2a.
又△ABC的面积为1＋，
即|BC|·|AF|＝×2a×(a＋c)＝1＋，
解得a＝1.故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
(2)由题意可得直线l：y＝kx－1与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，
联立可得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以1－k2≠0，Δ＝(2k)2－4(1－k2)(－2)>0，xMxN＜0，可得－1 且xM＋xN＝－，xMxN＝，
所以|MN|＝
＝|xM－xN|
＝·
＝，
联立可得xP＝，
同理可得xQ＝，
所以|PQ|＝|xP－xQ|
＝·＝，
所以＝＝，
其中－1