2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点29 正弦定理和余弦定理+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点29 正弦定理和余弦定理+答案解析，共18页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试29　正弦定理和余弦定理

高考
概览
本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度
考纲
研读
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

一、基础小题
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝－，a＝8，b＝5，则B＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　△ABC中，cosA＝－，所以A∈，所以sinA＝＝.又a＝8，b＝5，由正弦定理得＝，解得sinB＝＝＝，又B∈，所以B＝.故选B.
2．在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为4，则BC＝(　　)
A．2 B．4
C．2 D．4
答案　C
解析　因为S△ABC＝AB·ACsinA＝4，故AC＝2；由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝84，故BC＝2.故选C.
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝.又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acsinB＝10sinC，a＋b＝7，且cos＝，则c＝(　　)
A．4 B．5
C.2 D．7
答案　B
解析　∵acsinB＝10sinC.由正弦定理可得abc＝10c，即ab＝10.∵cos＝，∴cosC＝2×2－1＝，则c＝＝＝5.故选B.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝(　　)
A. B．
C.－ D．－
答案　C
解析　△ABC中，∵S＝absinC，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，且2S＝(a＋b)2－c2，∴absinC＝(a＋b)2－(a2＋b2－2abcosC)，整理得sinC－2cosC＝2，∴(sinC－2cosC)2＝4.∴＝4，化简可得3tan2C＋4tanC＝0.∵C∈(0,180°)，∴tanC＝－，故选C.
6．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(k为非零实数)，则下列结论正确的是(　　)
A．当k＝5时，△ABC是直角三角形
B．当k＝3时，△ABC是锐角三角形
C．当k＝2时，△ABC是钝角三角形
D．当k＝1时，△ABC是钝角三角形
答案　ABC
解析　当k＝5时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝5m，b＝3m，c＝4m，显然△ABC是直角三角形，A正确；当k＝3时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝3m，b＝3m，c＝4m，显然△ABC是等腰三角形，C为最大角，又a2＋b2－c2＝9m2＋9m2－16m2＝2m2＞0，说明C为锐角，故△ABC是锐角三角形，B正确；当k＝2时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝2m，b＝3m，c＝4m，显然C为最大角，又a2＋b2－c2＝4m2＋9m2－16m2＝－3m2＜0，说明C为钝角，故△ABC是钝角三角形，C正确；当k＝1时，＝＝，根据正弦定理不妨设a＝m，b＝3m，c＝4m，此时a＋b＝c，不能构成三角形，D错误．故选ABC.
7．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
答案　ACD
解析　(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，可设a＋b＝9t，a＋c＝10t，b＋c＝11t，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；由c为最大边，可得cosC＝＝＝＞0，即C为锐角，故B错误；cosA＝＝＝，cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝＝cosC，由2A，C∈(0，π)，可得2A＝C，故C正确；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圆的半径为，故D正确．故选ACD.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的最大值为________；若b＝2，则△ABC的面积的最大值为________．
答案　　
解析　由cos2B＋2sinAsinC＝1，可得1－2sin2B＋2sinAsinC＝1，即sin2B＝sinAsinC，由正弦定理，可得b2＝ac，由余弦定理，可得cosB＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立，所以0＜B≤，于是B的最大值为，△ABC的面积S＝acsinB≤×4×＝.
二、高考小题
9．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　∵在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝42＋32－2×4×3×＝9，∴AB＝3，∴cosB＝＝＝.故选A.
10．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C.4 D．3
答案　A
解析　∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.
11．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
答案　2
解析　由S△ABC＝acsinB，得＝acsin60°，即＝ac，解得ac＝4.所以a2＋c2＝3ac＝12.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×＝8.所以b＝2.
12．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos∠MAC＝________.
答案　2　
解析　解法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，在△ABM中，由余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·ABcosB＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理，得cos∠MAC＝
＝＝.
解法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，在△ABM中，由余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4.所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2.在△AMC中，由余弦定理，得cos∠MAC＝＝＝.
13．(2020·全国Ⅰ卷) 如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.

答案　－
解析　∵AB⊥AC，AB＝，AC＝1，由勾股定理得BC＝＝2，同理得BD＝，∴BF＝BD＝.在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos30°＝1＋3－2×1××＝1，∴CF＝CE＝1.在△BCF中，BC＝2，BF＝，CF＝1，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－.
14．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
答案　　
解析　如图，易知sinC＝，sinA＝，cosA＝.

在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.cos∠ABD＝cos(45°－∠A)＝×＋×＝.
三、模拟小题
15．(2021·北京市昌平区实验学校高三期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如果a＝10，A＝30°，C＝105°，那么b＝(　　)
A. B．5
C．10 D．20
答案　C
解析　因为A＝30°，C＝105°，所以B＝180°－A－C＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理可知，＝⇒＝⇒＝⇒b＝10.故选C.
16．(2021·金华市江南中学期中)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B．
C.2 D．1
答案　B
解析　由面积公式得：×sinB＝，解得sinB＝，所以B＝45°或B＝135°，当B＝45°时，由余弦定理得：AC2＝1＋2－2cos45°＝1，所以AC＝1，又因为AB＝1，BC＝，所以此时△ABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B＝135°，由余弦定理得AC2＝1＋2－2cos135°＝5，所以AC＝.故选B.
17．(2021·四川省南充高级中学高三期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝，且b2＝a2＋ac，则B＝(　　)
A. B．
C. D．或
答案　B
解析　由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，又A＝，∴a2＝b2＋c2－bc，∵b2＝a2＋ac，∴bc＝ac＋c2，即b＝a＋c，由正弦定理可得sinB＝sinA＋sinC，∴sinB＝sin＋sin，∴sin＝，∴B－＝或，∴B＝或π(舍去)．故选B.
18．(2021·秦皇岛市抚宁区第一中学月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA－acosB＝2b－c，则A＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　由已知和正弦定理得sinBsinA－sinAcosB＝2sinB－sinC，即sinBsinA－sinAcosB＝2sinB－sin(A＋B)，即sinBsinA－sinAcosB＝2sinB－(sinAcosB＋cosAsinB)所以sinBsinA＝2sinB－cosAsinB，因为sinB≠0，所以sinA＋cosA＝2，即sin＝1，所以A＋＝＋2kπ，k∈Z，即A＝＋2kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，所以A＝.故选C.
19．(2022·山东省枣庄八中开学考试)在△ABC中，A＝，b＝2，其面积为2，则等于(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　因为在△ABC中，A＝，b＝2，其面积为2，所以2＝bcsinA，因此c＝4，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋16－2×2×4×＝12，所以a＝2，由正弦定理＝，可得＝＝＝.
20．(多选)(2021·山东青岛高三期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝2b B．cosA＝
C．sinB＝ D．△ABC为钝角三角形
答案　ACD
解析　由＝，得asinB＝bsinA.又4bsinB＝asinA，两式作比得＝，所以a＝2b，故A正确；由ac＝(a2－b2－c2)，得b2＋c2－a2＝－ac，由余弦定理，得cosA＝＝＝－，故B错误；由于cosA