2023届高考数学一轮复习精选用卷 第九章 概率与统计 考点51 事件与概率+答案解析

考点测试51　事件与概率

一、基础小题

1．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)

A．至少有一个黑球与都是黑球

B．至少有一个黑球与至少有一个红球

C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D．至少有一个黑球与都是红球

答案　C

解析　“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B错误；“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，是互斥事件但不是对立事件，故C正确；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D错误．故选C.

2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　A

解析　∵甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，∴甲不输的概率为P＝＋＝.故选A.

3．已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝，某人猜测事件∩发生，则此人猜测正确的概率为(　　)

A．1   B． 

C.   D．0

答案　C

解析　∵事件∩与事件A∪B是对立事件，∴事件∩发生的概率为P(∩)＝1－P(A∪B)＝1－＝，则此人猜测正确的概率为.故选C.

4．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．设掷一枚硬币3次，事件A＝“至少出现一次正面”，事件B＝“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要条件．

5．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示：

假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为(　　)

A．公路1和公路2   B．公路2和公路1

C．公路2和公路2   D．公路1和公路1

答案　A

解析　通过公路1到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.1，0.4，0.4，0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1，2将货物运往城市乙．B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.

6．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．

答案　A与B，A与C，B与C，B与D　B与D

解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．

7．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．

答案　Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5

解析　样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点的有2，4，6，8，10，共有5个．

8．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．

答案　15

解析　摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.

二、高考小题

9．(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)

A．62%   B．56% 

C.46%   D．42%

答案　C

解析　记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A∪B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A∪B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.

10．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3   B．0.4 

C.0.6   D．0.7

答案　B

解析　设事件A＝“只用现金支付”，事件B＝“只用非现金支付”，事件C＝“既用现金支付也用非现金支付”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.

三、模拟小题

11．(2022·广东华侨中学高三月考)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”．乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是(　　)

A.甲与丙是互斥事件

B．乙与丙是对立事件

C．甲与丁是对立事件

D．丙与丁是互斥事件

答案　D

解析　当第一次取出的球的数字是1，第二次取出的球的数字是4时，甲与丙同时发生，不互斥不对立；“第二次取出的球的数字是6”与“两次取出的球的数字之和是5”不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立；当第一次取出的球的数字是1，第二次取出的球的数字是3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立；“两次取出的球的数字之和是5”与“两次取出的球的数字之和是偶数”不可能同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立．故选D.

12．(2021·湖北武汉部分学校高三质量检测)在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)＝P(B)＝，则(　　)

A．事件A，B一定互斥

B．事件A，B一定不互斥

C．事件A，B一定互相独立

D．事件A，B一定不互相独立

答案　B

解析　因为P(A)＋P(B)＞1，所以事件A，B一定不互斥．故选B.

13．(多选)(2021·济宁期末)分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)，设事件M＝“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N＝“第二枚骰子的点数为偶数”，则(　　)

A．M与N互斥   B．M与N不对立

C．M与N相互独立   D．P(M∪N)＝

答案　BCD

解析　事件M发生与否与事件N无关，事件N发生与否与事件M无关，∴M与N相互独立，故A错误，B，C正确；P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝＋－×＝，故D正确．故选BCD.

14．(多选)(2021·海口调研)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：

则下列说法正确的是(　　)

A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

答案　BD

解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．

15．(2022·河北省衡水市第一中学高三上学期第一次调研)现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9，0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

807 966 191 925 271 932 812 458 569 683

489 257 394 027 552 488 730 113 537 741

根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为________．

答案　0.5

解析　经随机模拟产生了20组随机数，其中代表该运动员三次射箭恰好有两次命中的有191，925，271，932，812，458，257，394，537，741，共10组，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率P＝＝0.5.

16．(2021·江苏省南京市金陵中学高三上学期质量检测)为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．

答案　0.78

解析　设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为A，B，C，则

解得

所以抽到一等品的概率为0.78.

17．(2021·辽宁朝阳期中)从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃Q”，事件B为“抽得黑桃”，则事件A发生的概率为________，事件A与B至少有一个发生的概率为________．

答案　　

解析　因为事件A，B为互斥事件，P(A)＝，P(B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

本考点在近三年高考中未涉及此题型．