2023届高考数学一轮复习精选用卷 第八章 数列 考点44 数列的概念+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第八章 数列 考点44 数列的概念+答案解析，共12页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
第八章　数列

考点测试44　数列的概念

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中、低等难度
考纲
研读
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数

一、基础小题
1．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)
A．第8项 B．第9项
C．第10项 D．第12项
答案　C
解析　由题意知＝，n∈N*，解得n＝10，即是这个数列的第10项．故选C.
2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　　)
A． B．
C. D．30
答案　D
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.
3．设an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是(　　)
A．107 B．108
C. D．109
答案　B
解析　因为an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋，n∈N*，所以当n＝7时，an取得最大值108.
4．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　|an＋1|>an⇒an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇒|an＋1|≥an＋1>an，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.
5．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n B．an＝
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
答案　B
解析　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.所以数列{an}的通项公式为an＝故选B.
6．朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，….现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为(　　)
A.50 B．55
C．100 D．110
答案　B
解析　由题意可知三角垛从上层向下，每层果子数构成一个数列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可变形为a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此得数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝＝55.故选B.
7．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是递增数列，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)
C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞)
答案　A
解析　解法一：因为{an}是递增数列，所以对于任意的n∈N*，都有an＋1>an，即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋1>2n2＋tn＋1，化简得t>－4n－2，所以t>－4n－2对于任意的n∈N*都成立，因为－4n－2≤－6，所以t>－6.故选A.
解法二：设f(x)＝2x2＋tx＋1，其图象的对称轴为x＝－，则数列{an}可表示为f(x)＝2x2＋tx＋1，x∈N*，要使{an}是递增数列，则－－6.故选A.
8．已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，则S15等于(　　)
A．210 B．211
C.224 D．225
答案　D
解析　结合Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可知，Sn＋1＋Sn－1－2Sn＝2a1，得到an＋1－an＝2a1＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以a15＝29.所以S15＝＝＝225.故选D.
9．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．下面给出数列{an}(n∈N*)的通项公式，其中{an}是“差递减数列”的有(　　)
A.an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝ D．an＝ln
答案　CD
解析　对于A，∵an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，∴数列{an}不为“差递减数列”；同理可得，B中数列不为“差递减数列”；对于C，∵an＋1－an＝－＝，∴数列{an}为“差递减数列”；同理可得，D中数列为“差递减数列”．故选CD.
10．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N*)，且Sn为{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)
A．an≥2n－1 B．Sn≥n2
C．an≥2n－1 D．Sn≥2n－1
答案　AB
解析　由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，…，an－an－1≥2，所以a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1≥2(n－1)，所以an－a1≥2(n－1)，所以an≥2n－1，所以a1≥1，a2≥3，a3≥5，…，an≥2n－1，所以a1＋a2＋a3＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1，所以Sn≥＝n2.
11．数列1，，，，，…的一个通项公式为an＝________.
答案　
解析　由已知得，数列可写成，，，…，故其一个通项公式可以为an＝.
12．数列{an}的通项为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大项，则a的取值范围是________．
答案　[9，12]
解析　当n≤4时，an＝2n－1递增，因此n＝4时取最大项，a4＝24－1＝15.当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－＋.∵a5是{an}中的最大项，∴
解得9≤a≤12.∴a的取值范围是[9，12].
二、高考小题
13．(2021·北京高考)数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3，a1＋a2＋…＋an＝100，则n的最大值为(　　)
A．9 B．10
C.11 D．12
答案　C
解析　若要使n尽可能的大，则{an}递增幅度要尽可能小，不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，则an＝n＋2，S11＝×11＝88100，所以n的最大值为11.故选C.
14．(2019·浙江高考)设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a＋b，n∈N*，则(　　)
A．当b＝时，a10>10
B．当b＝时，a10>10
C．当b＝－2时，a10>10
D．当b＝－4时，a10>10
答案　A
解析　解法一：对于选项A，a1＝a，an＋1＝a＋b＝a＋，∵＝a－an＋≥0，∴a≥an－.∵an＋1＝a＋>0，∴an＋1≥an－＋＝an＋>an，∴{an}为递增数列．因此，当a1＝0时，a10取到最小值，现对此情况进行估算．显然，a1＝0，a2＝a＋＝，a3＝a＋＝，a4＝a＋＝，当n>1时，an＋1>a，∴lg an＋1>2lg an，∴lg a10>2lg a9>22·lg a8>…>26lg a4＝lg a，∴a10>a＝＝C＋C＋C＋…＋C＝1＋64×＋×＋…＋＝1＋4＋7.875＋…＋＝12.875＋…＋>10，因此符合题意．故选A.
解法二：由已知可得an＋1－an＝a＋b－an＝＋b－.对于选项B，当a＝，b＝时，an＝恒成立，所以排除B；对于选项C，当a＝2或－1，b＝－2时，an＝2或－1恒成立，所以排除C.对于选项D，当a＝，b＝－4时，an＝恒成立，所以排除D.故选A.
15．(2020·浙江高考)已知数列{an}满足an＝，则S3＝________．
答案　10
解析　因为an＝，所以a1＝1，a2＝3，a3＝6.所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.
16．(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
答案　－63
解析　根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以S6＝＝－63.
三、模拟小题
17．(2021·湖南长沙雅礼中学模拟)圆周率π是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现π可以用一列有规律的数相加得到：π＝4－＋－＋－＋….若将上式看作数列{an}的各项求和，则{an}的通项公式可以是(　　)
A．an＝ B．an＝
C.an＝(－1)n· D．an＝
答案　D
解析　由题意可知π＝4－＋－＋－＋…＝＋＋＋…，对比选项可知an＝.
18．(2021·江苏连云港第一次模拟)已知数列{an}的通项公式an＝n＋，则|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|a99－a100|＝(　　)
A．150 B．162
C.180 D．210
答案　B
解析　由对勾函数的性质可知，当n≤10时，数列{an}递减；当n≥10时，数列{an}递增．所以|a1－a2|＋|a2－a3|＋…＋|a99－a100|＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(a9－a10)＋(a11－a10)＋(a12－a11)＋…＋(a100－a99)＝a1－a10＋a100－a10＝1＋100－(10＋10)＋(100＋1)－(10＋10)＝162.
19．(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)已知g(x)＝f－1是R上的奇函数，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，n∈N*，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n＋1 B．an＝3n＋1
C．an＝3n＋3 D．an＝n2－2n＋3
答案　A
解析　由于g(x)＝f－1是R上的奇函数，故f＋f＝2，∴函数f(x)关于点对称，则an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，倒序相加可得2an＝2(n＋1)，即an＝n＋1.故选A.
20．(多选)(2021·辽宁铁岭六校高三模拟)设数列{an}满足0