2021-2022学年河北省衡水市武强中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年河北省衡水市武强中学高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列结论中正确的个数是(    )
   命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
   命题“，”是全称量词命题；
   命题“，”的否定为“，”；
   命题“是的必要条件”是真命题．

A.  B.  C.  D.

3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录表的数据的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数在区间的图像大致为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 已知，，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知实数，，满足，且，则下列式子一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，则，满足(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的个判断，其中正确的是(    )

A. 当时，有个零点 B. 当时，有个零点
C. 当时，有个零点 D. 当时，有个零点

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共5小题，共32.0分）

13. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是______．
14. 已知中，点为线段不包括端点上任意一点，且正实数，满足，则的最小值为______．
15. 已知函数是偶函数，则          ．
16. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是______．
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
    确定函数的解析式．
    用定义证明在上是增函数．
    解不等式．

四、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    设函数．
    若关于的不等式的解集为，求实数和的值；
    若，
    若，，求的最小值，并指出取最小值时和的值；
    求函数在区间上的最小值．
19. 本小题分
    若二次函数，满足且．
    Ⅰ求函数的解析式；
    Ⅱ若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
20. 本小题分
    习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与肥料费用单位：元满足如下关系：其它成本投入如培育管理等人工费为单位：元已知这种水果的市场售价大约为元千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为单位：元．
    求的函数关系式；
    当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
21. 本小题分
    已知函数为奇函数．
    求常数的值；
    Ⅱ若，试比较与的大小；
    Ⅲ若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
22. 本小题分
    已知为奇函数．
    求的值；
    若，，求的值；
    当时，，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，得，，
由，得，，
．
故选：．
分别求解不等式化简与，再由交集运算得答案．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故错误；
对于：命题““，”是全称量词命题；故正确；
对于：命题：，，则：，，故错误；
对于：，，即，所以不等式两边同除以便得到，
“”是“”的必要条件；正确；
即正确的有个，
故选：．
根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．
本题考查了对全称量词和特称量词命题的理解及否定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，当时，，
则．
故选：．
根据，关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解．
本题考查了指数与对数的互化计算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．

【解答】

解：因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，，，
又，当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为，
故选：．
由基本不等式及其应用求解即可
本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
可知，
函数是奇函数，排除；
当时，，排除．
故选：．
判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
可得出，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数是以为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．

【解答】

解：是定义域为的奇函数，且，
，，
则，则，
即函数是以为周期的周期函数，
，
，，
，
则，
则

，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：设的一个充分不必要条件是，对应的集合为，
当时，，解得，所以
因此满足条件的选项为，．
故选：．
根据充分不必要条件与集合包含关系之间的联系即可求解．
本题主要考查交集的运算，以及充分不必要条件与集合包含关系之间的联系的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，以及特殊值代入法，属于基础题．
根据已知条件，结合特殊值代入，以及不等式的性质，即可依次求解．

【解答】

解：当时， 不成立，故A选项错误，
，且，
，，，
，故B选项正确，
当时， 不成立，故C选项错误，
，，
，故D选项正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，，故A正确，
，故B错误，
因为，故等号不成立，，故C正确，
，，即，，故D正确，
故选：．
先把指数式化为对数式可得，，可判断，由对数的运算性质可判断，由基本不等式可判断．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于较难题．
由得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

【解答】

解：由，得，
设，则方程等价为，
若，作出函数的图象如图：

，
此时方程有两个根其中，，
由，知此时有两解，
由知此时有两解，
此时共有个解，即函数有个零点．
若，作出函数的图象如图：

，
此时方程有一个根，其中，
由知此时只有个解，
即函数有个零点．
故选：．

13.【答案】 

【解析】解：命题“，”为真命题，等价于，上有解，
令，，
又的对称轴方程为，故，
要使，上有解，只需，
故，
故答案为：．
命题“，”为真命题，等价于，上有解，令，，只需，即可解．
本题考查了存在性问题，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，又，，三点共线，
，又，为正实数，

，
当且仅当，又，
即，时，取得等号，
的最小值为．
故答案为：．
根据向量的共线定理的推论，基本不等式即可求解．
本题考查向量的共线定理的推论，基本不等式，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于基础题．
根据题意，可得也为上的奇函数，即可得解．

【解答】

解：函数是偶函数，
为上的奇函数，
故也为上的奇函数，
所以时，，
所以，经检验，满足题意，
故答案为：．

16.【答案】或 

【解析】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且，
所以在上单调递减，且，
所以当或时，，当或时，，
由得或或，
解得或．
由已知结合奇函数的对称性及单调性即可直接求解．
本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，，
则函数的解析式：；
证明：设任取，，使得，则
，由于，则，，即，
，则有，即
则在上是增函数；
解：由于奇函数在上是增函数，
则不等式即为，
即有，解得
则有，
即的取值范围为 

【解析】

【分析】

由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；
运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，得到不等式组，解出即可．
本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用，奇偶性及解不等式组，考查运算能力，属于中档题．

【解答】

解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，，
则函数的解析式：；
证明：设任取，，使得，则
，由于，则，，即，
，则有，即
则在上是增函数；
解：由于奇函数在上是增函数，
则不等式即为，
即有，解得
则有，
即的取值范围为

18.【答案】解：由已知可得，的两根是，，
所以，解得；
，所以，
所以，
当且仅当时取等号，因为，，，解得时取等号，此时的最小值是；
由于，得，则，
函数的图象对称轴为，
当时，在区间上单调递增，则的最小值为，
当时，在区间上单调递减，则的最小值为． 

【解析】由已知可得，的两根是，，由韦达定理可得答案；
由条件可得，用基本不等式可求出的最小值，函数的图象对称轴为，分析在区间上单调性，即可求出最小值．
本题考查函数的单调性的性质的应用，以及一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，属中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由，解得：，
，
由

，
，解得：，
；
Ⅱ存在，使不等式，
即存在，使不等式成立，
令，，
故，
． 

【解析】本题考查了求二次函数的解析式问题，考查了求参数的范围问题，考查了转化思想，是一道中档题．
Ⅰ由，求出，根据，通过系数相等，从而求出，的值；
Ⅱ问题转化为存在，使不等式成立，令，，求出的最大值即可．
 

20.【答案】解：由已知
即
答：的函数关系式为
由变形得
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且
；
当时，，

当且仅当时，即时等号成立．
，
因为，所以当时，．
答：当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元． 

【解析】由已知，代入的解析式，整理即可；
将所得函数式变形成能求最值的形式配方或者变成基本不等式的形式结合实际条件求最值即可．
本题考查了函数的实际应用，涉及了分段函数以及用基本不等式求最值和二次函数求最值的问题，属于比较有难度的题目．
 

21.【答案】解：为奇函数
，
即，
，即，整理得．
使无意义而舍去．
Ⅱ．

．
当时，，
，
从而，
即．
．
Ⅲ由知，在递增，
在递增．
在区间上没有零点，
．
或，
或． 

【解析】由于为奇函数，可得，即可得出；
利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；
利用函数的单调性、指数函数的单调性即可得出．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：因为为奇函数，所以，所以，
当时，，，
故是奇函数．
综上，．
当时，，
所以，
故，
令，
则，
因为，
所以，
所以，，
故．
证明：因为，
当时，，
所以不等式成立．
当时，




．
综上，当时，恒成立． 

【解析】由奇函数的性质可得，可求得的值，验证可得结论；
当时，，利用倒序相加法即可求值；
求出，验证时不等式成立，当时，利用放缩法及等比数列的前项和公式即可证明不等式恒成立．
本题主要考查不等式恒成立问题，函数奇偶性的性质，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．