2021-2022学年新疆和田地区皮山高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年新疆和田地区皮山高级中学高二（下）期末数学试卷（文科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 复数，其中是虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点的直角坐标为，则点的一个极坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如框图表示的程序所输出的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 复数的共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为，为参数，则直线与圆的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

8. 椭圆为参数的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某种产品的广告支出费用单位：万元与销售额单位：万元之间有如下关系：

已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将正整数排成下表：
    
    则在表中数字出现在(    )

A. 第行第列 B. 第行第列 C. 第行第列 D. 第行第列

11. 已知，，，用反证法求证，，时的反设为(    )

A. ，， B. ，，
C. 、、不全是正数 D.

12. 已知，，当时，线段的中点轨迹方程为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 复数在复平面内对应的点到原点的距离为______．
14. 设复数为虚数单位，的共轭复数为，则 ______ ．
15. 把点的极坐标化成直角坐标为______．
16. 已知一组数据确定的回归直线方程为，，且，发现两组数据，误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为，当时，______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知复数．
    求复数的实部和虚部；
    若，求实数，的值．
18. 用分析法证明：；
    已知，，用反证法证明：和中至少有一个是非负数．
19. 已知直线的参数方程为为参数，，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
    求圆的直角坐标方程；
    若直线与圆相交于、两点，且，求的值．
20. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为．
    求曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
    设为曲线上的动点，求点到曲线的最值．
21. 新高考“”模式最大的特点就是取消了文理分科，除语文、数学、外语门必考科目外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这门中自主选择门作为选考科目某研究机构为了了解学生对全文政治、历史、地理的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的名学生中随机抽取男、女生各人进行模拟选科经统计，选择全文的男生有人，在随机抽取的人中选择全文的比不选全文的少人．
    估计高一年级的男生选择全文的概率；
    请完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关．

附表：

参考公式：，其中

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，．
    求曲线的极坐标方程并指出曲线类型；
    若曲线与直线交于不同的两点、，，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数模长的计算问题，是基础题．
根据复数模长的定义，计算即可．
【解答】
解：复数，其中是虚数单位，
则．
故选A．  

2.【答案】 

【解析】

【解答】
解：点的直角坐标为，
，
，，
点的一个极坐标为
故选D．
【分析】
利用直角坐标与极坐标的互化公式直接
本题考查点的极坐标的求法，考查直角坐标与极坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则，几何意义，属于基础题．
根据条件可得，解得范围即可．

【解答】

解：复数在复平面内对应的点在第二象限，
，解得．
则实数的取值范围是．
故选B．

4.【答案】 

【解析】解：分析程序框图，我们可以由循环变量的初值为，终值为，步长为
判断出该程序的功能是计算并输出的值，

故选：．
由已知中的程序框图，我们可以分析出该程序的功能是计算并输出的值，分析四个答案，易得到正确的结论．
本题考查的知识点是程序框图，其中根据框图中循环结构中，循环体内各语句及循环前各变量的初值，分析出程序的功能是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆即，即，即，表示以为圆心，半径等于的圆．
而点的极坐标为，
故选：．
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求点的极坐标，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：，
复数的共轭复数为．
复数的共轭复数的虚部为．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由线的极坐标方程为，可得直线的直角坐标方程为：．
圆的参数方程为为，为参数，可得圆的直角坐标方程为：．
圆心，半径为：．
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交．
故选：．
利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程与圆的直角坐标方程，求得圆心到直线的距离可得结论．
本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，属于简单题．将椭圆的参数方程转化为普通方程，即可求其离心率．
【解答】
解：为参数，
，
即，其中，，
故，
其离心率．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：将代入与的线性回归方程为，
则，
故残差为．
故选：．
将代入与的线性回归方程为，将与所得的结果比较，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差的求解，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为每行的最后一个数分别是，，，，，可归纳出第行的最后一个数是，
因为，，所以出现在第行，又，
所以出现在第行第列．
故选：．
利用已知条件，判断归纳出各行的规律，然后转化求解即可．
归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，等价于、、都是正数，
则，，时的反设为、、不全是正数．
故选：．
，，等价于、、都是正数，再结合反证法的应用，即可求解．
本题主要考查反证法的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：中点坐标为
，
即，
，
，
，
．
故选：．
中点坐标为，整理得到，即可求解．
本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内对应的点到原点的距离为：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及两点之间的距离公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：复数，．
．
．
故答案为：．
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，故，，故，
故答案为：，
根据极坐标与直角坐标之间的互化公式即可求解．
本题考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由样本数据点集，，，
求得的回归直线方程为，且，，
故数据的样本中心点为，
去掉，，
重新求得的回归直线的斜率估计值为，
回归直线方程设为：，代入，
求得，
回归直线的方程为：，
将，代入回归直线方程求得的估计值，
故答案为：．
由题意求出样本中心点，然后求解新的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为，求解即可．
本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
复数的实部为，虚部为．
由知，
代入，
得：，
，
所以实数，的值分别为，． 

【解析】由复数的运算法则，把复数等价转化为，能够得到复数的实部和虚部．
把代入，得：，由复数相等的充要条件，能够求出实数，的值．
本题考查复数的代数形式的运算和复数相等的充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
 

18.【答案】证明：要证明：，
只要证，
即证，
只要证，
只要证，显然成立，
故，
假设和中都是负数，
即，，
，
即，
这与相矛盾，
故假设不成立，
故和中至少有一个是非负数 

【解析】本题考查了分析法与反证法证明，属于中档题．
两边平方结合分析法即可证明；
利用反证法即可证明．
 

19.【答案】解：圆的极坐标方程为．
圆的直角坐标方程为．
将直线的参数方程为为参数，
代入到圆的直角坐标方程中，
得到：，
直线与圆相交于、两点，且，
，解得或． 

【解析】由圆的极坐标方程能求出圆的直角坐标方程．
将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程，得到：，由此利用直线与圆相交于、两点，且，能求出的值．
本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知，曲线的参数方程为为参数，
由得曲线的直角坐标方程为．
设，则点到的距离为：
，
当时，，
当时，，
综上，到的距离的最大值为，最小值为． 

【解析】根据椭圆的参数方程直接写出答案即可，利用极坐标与直角坐标的互化公式将化为直角坐标方程即可；
设，利用点到直线的距离公式，即可求得点到曲线的距离最值．
本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线距离公式及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：由题中数据可知，男生总共人，选择全文的人，
所以男生选择全文的概率为；
根据题意填写列联表如下：

计算，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为选择全文与性别有关． 

【解析】用频率估计概率，从而求得男生选择全文的概率；
由公式计算的值，对照附表得出结论．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】解：由，消去参数，得，
令，，
则有，
即，曲线为等轴双曲线；
将直线的极坐标方程代入，得，
曲线与曲线交于不同的两点、，
则，
又，可得或，
设，，
则，
解得：，
或，得或． 

【解析】直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的极坐标方程，并指明曲线类型；
将直线的极坐标方程代入，得，求出的范围，结合求得，进一步求得的值．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．