2021-2022学年重庆市巫山县官渡中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年重庆市巫山县官渡中学高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设集合，，则集合的真子集的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 已知：，那么的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若，，，则实数，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产、、三种不同型号的口罩，、、三种型号的口罩产量之比为：：为了提高这三种口罩的质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．在样本中种口罩数量比种口罩数量多只，比种口罩数量多只，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 给出如图三幅统计图及四个命题：
   从折线统计图能看出世界人口的变化情况；
   年非洲人口大约将达到亿；
   年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；
   从年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢．
   其中命题正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10. 下列说法正确的是(    )

A. 圆柱的侧面展开图是矩形
B. 球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面
C. 直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
D. 圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面

11. 函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是(    )

A. 图象的一条对称轴可能为直线
B. 函数的解析式可以为
C. 的图象关于点对称
D. 在区间上单调递增

12. 如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是(    )

A. 直线与为异面直线
B. 平面
C.
D. 正方体外接球体积为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数的定义域是______．
14. 已知，则的最小值是______．
15. 已知向量，若，则______．
16. 在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界如图，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形如图已知正六边形的边长为，点满足，则______；若点是其内部一点包含边界，则的最大值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
    求角的大小；
    若点为的中点，，，求的值．
18. 本小题分
    设是两个不共线的向量，已知．
    求证：，，三点共线；
    若以，且，求实数的值．
19. 本小题分
    我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取名同学将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图，观察图形中的信息，回答下列问题：
    利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
    从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；
    已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．

20. 本小题分
    已知，，．
    求关于的表达式，并求的最小正周期；
    若当时，求的单调递增区间；
    若当时，的最小值为，求的值．
21. 本小题分
    如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，．
    证明：平面平面；
    点在平面内，直线平面，求四棱锥的体积．

22. 本小题分
    已知函数．
    证明：为偶函数；
    判断的单调性并用定义证明；
    解不等式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
集合．
集合的真子集为，，，，，，共有个．
故选：．
集合和集合的公共元素构成集合，由此利用集合，，能求出集合真子集的个数．
本题考查集合的交集及其运算，考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题一般来说，若中有个元素，则集合的子集共有个．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，
则，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：命题为特称命题，
故“，”的否定是“，”．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项中的条件是：的充分不必要条件，
选项条件对应的集合是的真子集，
故选：．
根据充分与必要条件的概念即可求解．
充分与必要条件的概念，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：是一平面图形的直观图，斜边，
直角三角形的直角边长是，
直角三角形的面积是，
原平面图形的面积是，
故选：．
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，．
．
由函数零点的判定定理可知：函数在区间内有零点．
故选B．
利用函数零点的判定定理即可得出．
熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，
而，
当时，，不满足，
当时，不满足，
，
综上，．
故选：．
应用指对数的互化及对数的性质判断，的大小及范围，讨论，结合对数的性质确定其范围，即可得到答案．
本题考查三个数的大小的判断，考查指对数的互化及对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，三种口罩数量分别为，，，
则，
，，，
．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故正确；
从条形统计图中可得到：年非洲人口大约将达到亿，故错；
从扇形统计图中能够明显的得到结论：年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故正确；
由上述三幅统计图并不能得出从年到年中哪个洲人口增长速度最慢，故错误．
因此正确的命题有，正确的个数为个．
故选：．
显然正确；从条形统计图中可得到：年非洲人口大约将达到亿；从扇形统计图中能够明显的得到结论：年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；由上述三幅统计图并不能得出从年到年中哪个洲人口增长速度最慢，由此可得结论．
本题考查折线统计图、条形统计图和扇形统计图，其中扇形统计图表示部分占整体的百分比，折线统计图表示变化情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，圆柱的侧面展开图是矩形，故A正确；
对于，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，故B正确；
对于，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，故C错误；
对于，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，故D正确．
综上，正确答案为．
故选：．
对于，由圆柱的侧面展开图判断；对于，由球面定义判断；对于，由圆台定义判断；对于，由圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面判断．
本题考查命题真假的判断，考查圆柱的侧面展开图、球面定义、圆台定义、圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面等基础知识，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由函数的图象可知，，
又因为，且，
所以，故B正确；
，故C正确；
因为，故A错误；
因为，所以若在区间上单调递增，则在区间上单调递增，由题目中的图象显然不符，故D错误；
故选：．
根据图象求出解析式可判断选项；计算可判断和选项；由周期性和题目所给图象可判断选项．
本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，因为平面，平面，，
所以直线与为异面直线，所以A正确，
对于，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，所以B正确，
对于，连接，则由正方体的性质可得为等边三角形，所以，所以C错误，

对于，因为正方体的棱长为，
所以其体对角线长为，
所以正方体外接球的半径为，
所以正方体外接球体积为，所以D错误，
故选：．
对于，利用异面直线的定义判断即可，对于，由线面平行的判定定理判断，对于，连接，可得为等边三角形，从而可判断，对于，正方体的体对角线的长等于其外接球的直径，从而可求出外接球的体积．
本题主要考查异面直线的判定，线面平行的判定，球与多面体的切接问题等知识，属于中等题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：．
根据题意可知，由此即可求出结果．
本题考查了求函数的定义域问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
又，
当且仅当时等号成立，即时等号成立；
故答案为：．
配凑出分母的形式，再利用基本不等式即可求解．
本题主要考查基本不等式配凑思想的应用，属于简单题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，解得，
，
故答案为：．
利用平面向量共线定理建立方程即可求出的值，再根据向量的坐标运算即可求解．
本题考查了平面向量共线定理以及数量积的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：，
，
，
如图，
的值即为在方向上的投影，
当点与点重合时，在方向上的投影，最大，
取得最大值为；
当点与点重合时，在方向上的投影，最小，
取得的最小值为．
故答案为：，．
由题意画出图形，结合向量在向量方向上的投影以及向量的模长公式求得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．
 

17.【答案】解：由题意可得，
化简得，所以，
又由，可得；
在中，由余弦定理有，
因为，，
可得，
即，解得或舍去，
又由为的中点，得，，
在中，由余弦定理有，
有，可得． 

【解析】由已知结合余弦定理进行化简可得，进而可求；
由余弦定理先求出，然后结合余弦定理可求．
本题主要考查了余弦定理及同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：由，
所以，
所以，
所以、共线，且有公共点，
所以，，三点共线；
由，且，
所以，
即，
所以，
解得，
所以实数的值为． 

【解析】由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出，，三点共线；
由平面向量的共线定理列方程求出的值．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题．
 

19.【答案】解：本次考试成绩的平均数为．
因为前组频率之和为，前组频率之和为，
所以第百分位数在第组中，设为，
则，解得．
第百分位数是．
第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有人，记为、、、，第六组有人，记为、、，
从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，其中至少人成绩优秀的情况有种，
所抽取的人中至少人成绩优秀的概率为． 

【解析】根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；根据频率分布直方图，及第百分位数的概念计算即可；
计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取人的所有情况，然后求得概率．
本题考查根据频率分布直方图求平均数，百分位数，属于基础题．
 

20.【答案】解：

，
的最小正周期为．
由，
得，又因为，
所以单调递增区间，，．
因为，
，
当，即时，
函数取得最小值是．
，
． 

【解析】利用向量数量积公式求得函数，结合三角二倍角公式及辅助角公式化简的表达式，即可求出最小正周期；
由，结合即可求解结果；
由得，即可求出函数最小值，从而得参数值．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，三角函数求最值的方法，三角函数的单调区间等知识，属于中等题．
 

21.【答案】证明：连接交于点，

底面，平面，
，
又，，，平面，
面，平面，
平面平面；
解：连接，过作交于点，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，重合，
因为∽，
所以，又，
所以，所以，
点到底面的距离为，又，
． 

【解析】根据线面垂直判定定理证明面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面
先求四棱锥的高，再根据锥体体积公式求解即可．
本题考查了面面垂直的证明和四棱锥的体积计算，属于中档题．
 

22.【答案】证明：的定义域为，
，，故为偶函数．
解：在上单调递增，证明如下：
，任取，，且，



．
因为，，
所以，
所以，即，
所以在上单调递增．
解：因为，所以，即，
由可知在上单调递增，所以，解得，故不等式的解集为． 

【解析】利用奇偶性的定义即可证明；
判断在上单调递增，利用单调性的定义即可证明；
将不等式转化为，即，结合中结论求解即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的证明，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．