2021-2022学年江西省九江市六校高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省九江市六校高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 复数为虚数单位的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 化简：是第二、三象限角(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是两条异面直线，下列说法中正确的是(    )

A. 过直线没有一个平面与直线平行
B. 过直线有无数个平面与直线平行
C. 过直线有两个平面与直线平行
D. 过直线有且只有一个平面与直线平行

4. 设是平行四边形的对角线的交点，为任一点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在平面四边形中，，，将该四边形沿着对角线折叠，得到空间四边形，则异面直线，所成的角是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，三内角，，对应的边分别为，，，且，若利用正弦定理解仅有唯一解，则(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

7. 函数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在锐角中，三内角，，对应的边分别为，，，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设是复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设，，是空间三条不同的直线，，是空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是(    )

A. 若，且，则
B. 若，且，则
C. 若，且是在内的射影，，则
D. 若，且，则

11. 已知函数在处取得最大值，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知等边的边长是，是其重心，为边上一点，且，则能得到(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知圆锥的顶点为，过母线、的截面面积是若、的夹角是，且与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积是______．
14. 若，则的值是______．
15. 在中，，，，分别为边，的中点，且，则角的大小是______．
16. 九章算术商功中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥是一个“鳖臑”，其中平面，，三棱锥的外接球的半径为，则、的面积之和的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在平面直角坐标系中，为坐标原点，，．
    若，求实数的值；
    设，若，的夹角为钝角，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    设是实数，复数是虚数单位在复平面内对应的点在第三象限．
    求的取值范围；
    若取整数，且关于的二次方程有实数根，求的值．
19. 本小题分
    设函数的最小正周期是，将其图象向左平移后得到的图象如图所示．
    求的值和函数的单增区间；
    令，且，求函数的值域．

20. 本小题分
    如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点，为棱的中点，且，，．
    证明：平面；
    若，，求三棱锥的体积．

21. 本小题分
    在中，三内角，，对应的边分别为，，，．
    求的值；
    若是的外心，且，求外接圆的半径．
22. 本小题分
    已知向量，，函数在内单调递增．
    求实数的取值范围；
    如图，某小区要建一个四边形花圃，其中，，是实数的最大值，，求四边形花圃周长的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则复数为虚数单位的虚部是：．
故选：．
由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
是第二、三象限角，
原式，
故选：．
根据同角三角函数关系式化简求值即可．
本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示：

在直线上任取一点，作，
因为，则确定平面，
又因为，，
所以，
故选：．
利用平面的基本性质和线面平行的判定定理判断．
本题主要考查空间中的位置关系，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设是平行四边形的对角线的交点，
，
，
故选：．
由已知中是平行四边形的对角线的交点，可得，进而可得答案．
本题考查的知识点是向量在几何中的应用，向量的线性运算，难度中档．
 

5.【答案】 

【解析】解：取中点，连结，，
，，
，，
又，
平面，
平面，，
对角线与所成的角的大小为．
故选：．
取中点，连结，，由已知得，，从而平面，由此能求出对角线与所成的角的大小．
本本题考查对角线与所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
 

6.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得：，所以，
因为，所以，
因为仅有唯一解，
所以，的值确定，
当时，，仅有唯一解，此时，
则 ，
当时，，仅有唯一解，此时，
当，且时，有两解，不符合题意，
综上： 或．
故选：．
由正弦定理得，根据的范围讨论即可．
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
因为，所以当时，函数值最小，且，
故选：．
将函数化简，由自变量的范围求出函数的最小值．
本题考查三角函数求最值的方法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由得，，
因为，所以，
而，所以，即，
因此，
由和得到，，
因此．
故选：．
根据正弦定理，可得，然后结合角的范围可得，进而求得，根据锐角三角形可得，进而可求解．
本题考查了正弦定理的应用以及三角函数的值域问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，取，则，故A错误，
对于，取，
则，，故B错误，
对于，设，，，
则，
，故C正确，
对于，设，，，
则，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确；
对于：由面面垂直判定定理知B正确；
对于：垂直于，确定的平面，所以，故C正确；
对于：可以与异面，故D错误．
故选：．
利用线线，线面，面面的平行，垂直的性质可判断每个选项的正确性．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于，
当时，整理得，；
当时，；时，．
故选：．
直接利用三角函数的诱导公式的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对，因为，所以，
则，故A对．
对，因为为等边三角形的重心，
所以，故B对．
对，因为，所以，则，故C错．
对因为，所以，
则故D对．
故选：．
对，利用平面向量的线性运算求解判断即可；
对，根据为重心即可进行求解判断；
对，根据，得到，进而可对面积进行判断；
对，由，得到，再由数量积的运算即可求解判断．
本题考查了平面向量的数量积运算，命题真假的判断，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，设圆锥的母线长是，高为，则，，，圆锥底面半径是，
于是该圆锥的表面积是．
故答案为：．
根据题意，设圆锥的母线长是，则，求出，，进而求出底面半径，最后根据圆锥的表面积公式求解即可．
本题考查圆锥的表面积公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，即，解得，
故，
故答案为：．
利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数关系式求值即可．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，两角差的正切公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：
，
所以，，．
故答案为：．
利用基底法和平面向量的数量积的运算律化简即得解．
本题主要考查平面向量数量积的应用，特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：将三棱锥还原成一个直四棱柱长方体，如图所示，

则该棱柱的体对角线即为外接球的直径，
则．
于是，
当且仅当时取到等号，故的最大值为．
故答案为：．
将三棱锥还原成一个直四棱柱长方体，由长方体性质易得面积，再由基本不等式得最大值．
本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，即，解得．
因为，
所以，
即，解得，
若当与的夹角为时，，则，
解得，
故实数的取值范围是． 

【解析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
根据已知条件，结合向量的数量积公式，求出，再结合向量平行的性质，剔除平行的特殊情况，即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式，以及向量平行的性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：在复平面内对应的点在第三象限．
则，且，解得，
故的取值范围是．
因为，且取整数，
所以，
代入上述方程就是，
设实数根为，则，即，
根据复数相等的充要条件得，，消去得，，
解得或． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
根据已知条件，先求出，结合复数相等的条件，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，复数相等的条件，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，所以将的图象向左平移后，
所对应的式子为．
由图象知，，
所以，
由得到，
单增区间是；
，
因为，所以，
因此，
故函数的值域是． 

【解析】根据题意求出平移后的解析式，根据图象可得可求出，从而可求出，然后根据正弦函数的性质可求出函数的增区间；
由可得，再利用正弦函数的性质可求出其值域．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
 

20.【答案】解：证明：如图，连接．
由题意知为等腰三角形，
而为棱的中点，．
又平面平面，且，
平面．
而平面，，
又，平面．
连接，则，．
而，，
，，四边形是平行四边形，
．
故E平面；
在直角中，，
，且是三枝锥的高，
． 

【解析】连接，，证明四边形是平行四边形，结合面面垂直的性质定理，即可证明平面；
将三棱锥的体积转换成三棱锥的体积，再代入锥体的体积公式即可求解．
本题考查面面垂直的性质定理，三棱锥的体积，属基础题．
 

21.【答案】解：．
设外接圆的半径是．．
因此． 

【解析】利用余弦定理化简即可；
把两边平方，再利用正弦定理求解．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：，，，
，
由，可得，
所以，
故实数的取值范围是；
由知，．
在中，，
，
设，则在中，
由得，，
所以
，
因为，所以，
，
因此时，取到最大值，
故四边形花圃周长的最大值是． 

【解析】由题可得，利用正弦函数的性质可得，即得实数的取值范围；
利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，，进而可得表示四边形花圃周长，再利用三角变换及正弦函数的性质即得花圃周长的最大值．
本题主要考查平面向量数量积的应用，三角函数的实际应用，解三角形的实际应用等知识，属于中等题．