湘教版（2019）选择性必修 第一册3.5 圆锥曲线的应用课堂教学ppt课件

3.5　圆锥曲线的应用

课标要求　1.掌握圆锥曲线的定义，并用数学符号或自然语言描述.2.熟练运用圆锥曲线解决具体问题.

素养要求　通过学习圆锥曲线的应用，发展学生的数学建模，数学抽象、数学运算核心素养.

题型一　椭圆的应用

例1 我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，AB是椭圆的长轴，地球半径为6 371 km，如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，AB与地球交于C，D两点.求卫星运行的轨道方程.(结果精确到1 km)

解　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).

由题意知|AC|＝439，|BD|＝2 384，|F2C|＝|F2D|＝6 371.

a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|

＝439＋6 371＝6 810，

a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|

＝2 384＋6 371＝8 755，

解得a＝7 782.5，c＝972.5，

所以b＝＝

≈7 722.

因此，卫星运行的轨道方程是＋＝1.

思维升华　(1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点”.

(2)解决实际应用题的一般思路是：“首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直角坐标系；然后设出待求椭圆的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式，求解方程.

训练1 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米.

答案　32

解析　建立平面直角坐标系如图，

设椭圆方程为＋＝1(a>0)，

当点(4，4.5)在椭圆上时，

＋＝1，解得a＝16，

∵车辆高度不超过4.5米，

∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米.

题型二　双曲线的应用

例2 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处，如图所示，PA＝100 m，PB＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.

解　以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设M是分界线上的点，则有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，

于是有|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50.

这说明这条分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，在△APB中，

由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|·cos 60°＝17 500，

从而a＝25，c2＝＝4 375，b2＝c2－a2＝3 750，

所以所求分界线方程为－＝1(x≥25)，

于是运土时，将此双曲线左侧的土沿AP运到P点，右侧的土沿BP运到P点最省工.

思维升华　本题是双曲线在现实生活中的应用，解题时，首先将上述问题抽象为数学问题，然后根据有关数学知识解决问题.

训练2 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.

答案　x2－＝1(x>0)　2－2

解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.

则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.

故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，

故轨迹方程为x2－＝1(x>0).

根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2.

当A，M，C共线时等号成立.

题型三　抛物线的应用

例3 一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.

解　以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

则点B的坐标为，

由点B在抛物线上，得＝－2p，

所以p＝，

所以抛物线方程为x2＝－ay.

将点(0.8，y0)代入抛物线方程，

得y0＝－.

欲使卡车通过隧道，应有－|y0|＝－>3.

解得a>12.21，或a<－0.21(舍去).

∵a取整数，∴a的最小值为13.

思维升华　在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.

训练3 某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，则水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？

解　以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).

由题意知，点A(4，－5)在抛物线

x2＝－2py(p>0)上，

∴16＝－2p×(－5)，2p＝.

∴抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4).

设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B，B′时，船开始不能通航，

设B(2，y′)，由22＝－y′，得y′＝－，

∴水面与抛物线拱顶相距|y′|＋＝2(m).

故水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时，船开始不能通航.

一、基础达标

1.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.等腰直角三角形

答案　B

解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.

又|PF1|－|PF2|＝2，

∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.

又|F1F2|＝2c＝2＝4，

∴|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，

∴△PF1F2为直角三角形.

2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)

A.1   B. 

C.2   D.3

答案　C

解析　因为双曲线的离心率e＝＝2，

所以b＝a，

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，

与抛物线的准线x＝－相交于A，B，

于是|AB|＝p，

所以△AOB的面积为××p＝，

又p>0，所以p＝2.

3.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于(　　)

A.－1   B.

C.＋1   D.＋2

答案　C

解析　△PF1F2是等腰直角三角形，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a，2c－2c＝2a，e＝＝＝＋1.

4.若直线kx＋y－1＝0(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是(　　)

A.(0，1)   B.(0，5)

C.[1，5)∪(5，＋∞)   D.[1，＋∞)

答案　C

解析　直线kx＋y－1＝0恒过点(0，1)，

由题意知，该点在椭圆内或椭圆上，

故有解得m≥1且m≠5，故选C.

5.若点A的坐标为(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)

A.(0，0)   B.

C.(1，)   D.(2，2)

答案　D

解析　设M(x0，y0)，

则|MF|可以看作是点M到准线的距离，

当点M移动到和点A的纵坐标相等时，|MF|＋|MA|取得最小值，即y0＝2，

代入y2＝2x，得x0＝2，即M(2，2).

6.焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________.

答案　4

解析　∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，

∴a＝5，

∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，

∴|MF2|＝8.

又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，

∴ON是△F1F2M的中位线，

∴|ON|＝|MF2|＝4.

7.设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则该双曲线的离心率为________.

答案　

解析　由|AF1|＝3|AF2|，设|AF2|＝m，|AF1|＝3m(m>0)，则2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，2c＝＝m，

∴离心率e＝＝.

8.已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为________.

答案　

解析　由题意，得1＋＝5，∴p＝8，∴m＝4，∴M(1，4)，

又A(－，0)，∴直线AM的斜率为kAM＝＝，∴＝，∴a＝.

9.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.

解　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

由题意知，点P(10，－4)在抛物线上，

∴100＝－2p×(－4)，2p＝25，

即抛物线方程为x2＝－25y.

∵每4米需用一根支柱支撑，

∴支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.

由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，

代入x2＝－25y，得yB＝－，

∴|AB|＝4－＝3.84，

即最长支柱的长为3.84米.

10.连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所示.一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，卡车与车箱共高4.5米，此时，卡车能否通过此隧道，请说明理由.

解　以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，依题意知点A(3，－3)在抛物线上，

∴32＝－2p×(－3)，解得p＝，

∴抛物线的标准方程为x2＝－3y.

又集装箱宽3米，

∴当x＝1.5时，y＝－0.75，

即离隧道中心线1.5米处，隧道面离地面的距离为5－0.75＝4.25米，而箱顶离地面的高度为4.5米，故此时卡车不能通过此隧道.

二、能力提升

11.已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　)

A.－y2＝1   B.x2－＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案　A

解析　由已知MF1⊥MF2，

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，

∴(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1||MF2|

＝|F1F2|2，

即(|MF1|－|MF2|)2＝(2)2－4＝36.

∴|MF1|－|MF2|＝±6，

∴a＝3，c＝，∴b＝1，

∴双曲线方程是－y2＝1.

12.双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则双曲线的方程为________.

答案　－＝1或－＝1

解析　设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c2＝25.

当λ>0时，－＝1，λ＋＝25，λ＝20；

当λ<0时，－＝1，

－λ＋＝25，λ＝－20.

∴双曲线方程为－＝1或－＝1.

13.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？

解　取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示.

因灯口直径|AB|＝24 cm，

灯深|OP|＝10 cm，

所以点A的坐标是(10，12).

设抛物线的方程为y2＝2px(p>0).

由点A(10，12)在抛物线上，得122＝2p×10，

∴p＝7.2.

抛物线的焦点F的坐标为(3.6，0).

因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.

三、创新拓展

14.一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝2.8 cm，|F1F2|＝4.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm).

解　建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0).

在Rt△BF1F2中，

|F2B|＝

＝.

由椭圆的定义，知|F1B|＋|F2B|＝2a，所以a＝(|F1B|＋|F2B|)＝(2.8＋)≈4.1，

b＝＝≈3.4，

所以，所求的椭圆方程为＋＝1.