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选择性必修 第一册4.1 两个计数原理课文ppt课件
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这是一份选择性必修 第一册4.1 两个计数原理课文ppt课件，文件包含第一课时两个计数原理及其简单应用pptx、第一课时两个计数原理及其简单应用DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共45页， 欢迎下载使用。
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
通过两个计数原理的学习，发展学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
课前预习教材必备知识探究
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1.分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有_____________________种不同的方法.
N＝m1＋m2＋…＋mn
2.分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有_______________________种不同的方法.温馨提醒 1.分类加法计数原理的最重要特点是各类中的每种方法都可以单独完成这件事；正确运用分类加法计数原理的关键是明确分类的标准并做到不重不漏.
2.当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理.
N＝m1×m2×…×mn
1.思考辨析，判断正误(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )提示 在分类加法计数原理中，两类不同的方案中，每一种方法都不相同.(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.( )
2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )A.6 B.5 C.3 D.2解析 由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)不同的选法.
3.现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )A.39 B.24 C.15 D.16解析 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.
4.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有__________种不同的取法.
解析 由分步乘法计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________.解析 法一 根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
法二 分析个位数字，可分以下几类：个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位数字是7的有6个；……个位数字是2的有1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
迁移1 若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有 多少个？解 当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；同理可知，当个位数字是2时，共7个；当个位数字是0时，共9个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).
迁移2 用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数__________个.解析 分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，∴由分类加法计数原理知共可写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15(个).
训练1 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A.14 B.13 C.12 D.10解析 由关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，得a＝0，b∈R或a≠0时，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴由分类加法计数原理知共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
例2 在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0，1，2，3}内取值，则可以组成多少个不同的点P?解 确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标.第一步，确定横坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，也有4种方法.根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.故可以组成16个不同的点P.
应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事.(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成，即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行.(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整.
训练2 用0，1，2，3，4，5，6这七个数字共能组成多少个两位数？解 第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6六个数字都可以选择，有6种方法；第二步，确定个位数字，0，1，2，3，4，5，6七个数字都可以选择，有7种选法.根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6×7＝42(个).故可以组成42个两位数.
题型三 两个计数原理的简单应用
例3 现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？解 (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种).(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种).
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解 分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9 种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).
(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.法一 分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选教日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.
法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同选法.
1.(1)利用分类加法计数原理的解题方法：根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类.(2)利用分步乘法计数原理的解题方法：按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.2.应用两个计数原理时，一定要明确是“分类”还是“分步”.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )A.24种 B.9种 C.3种 D.26种解析 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.
2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )A.1 B.3 C.6 D.9解析 可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点.
3.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有( )A.12种 B.7种 C.14种 D.49种解析 完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场.第一步进门共有4＋3＝7(种)方法，第二步出门共有4＋3＝7(种)方法.由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种).
4.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A.10种 B.20种 C.25种 D.32种解析 每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种).
5.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A.60 B.48 C.36 D.24解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个).
6.已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使lgab>1的对数值有__________个.解析 分四类，当a＝2时，b取3，5，7，9四种情况；当a＝4时，b取5，7，9三种情况；当a＝6时，b取7，9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又lg23＝lg49，所以对数值有9个.
7.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为__________.解析 由题意知本题是一个分类计数问题.若个位数字为0，则前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数.
8.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种.
解析 按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1，4，共2种；第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种.根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况.
9.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数.解 分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个.由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”.
10.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？
解 完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都能完成，因此应用分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的带法.
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？
解 (2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的带法.(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20(种)选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15(种)选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12(种)选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47(种)不同的带法.
11.(多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层.该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节
解析 由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4(种)(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5(种).综上，自习可安排在4节课中的任一节.故选BD.
12.在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法.
解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法.
13.已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数满足m＞n的数对有多少个？解 (1)因为集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，所以先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25(个)不同的数对.(2)在(1)中的25个数对中所取两数满足m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果.综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)不同的数对.
14.设A＝{1，2，3，…，10}，若方程x2－bx－c＝0满足b，c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的总个数为( )A.8个 B.10个 C.12个 D.14个解析 用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b：c＝2时，有2×1＝2，b＝2－1＝1，则“漂亮方程”为x2－x－2＝0；c＝3时，有3×1＝3，b＝3－1＝2，则“漂亮方程”为x2－2x－3＝0；
c＝4时，有4×1＝4，b＝4－1＝3，则“漂亮方程”为x2－3x－4＝0(同时，4＝2×2，b＝2－2＝0∉A，故舍去)c＝5时，有5×1＝5，b＝5－1＝4，则“漂亮方程”为x2－4x－5＝0；c＝6时，有6×1＝6，b＝6－1＝5，则“漂亮方程”为x2－5x－6＝0；同时，有2×3＝6，b＝3－2＝1，则“漂亮方程”为x2－x－6＝0；c＝7时，有7×1＝7，b＝7－1＝6，则“漂亮方程”为x2－6x－7＝0；c＝8时，有8×1＝8，b＝8－1＝7，则“漂亮方程”为x2－7x－8＝0；同时，有2×4＝8，b＝4－2＝2，则“漂亮方程”为x2－2x－8＝0；c＝9时，有9×1＝9，b＝9－1＝8，则“漂亮方程”为x2－8x－9＝0(同时，9＝3×3，b＝3－3＝0∉A，故舍去)c＝10时，有10×1＝10，b＝10－1＝9，则“漂亮方程”为x2－9x－10＝0；同时，有2×5＝10，b＝5－2＝3，则“漂亮方程”为x2－3x－10＝0.综合可得，共12个“漂亮方程”.
1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
通过两个计数原理的学习，发展学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
课前预习教材必备知识探究
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1.分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有_____________________种不同的方法.
N＝m1＋m2＋…＋mn
2.分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有_______________________种不同的方法.温馨提醒 1.分类加法计数原理的最重要特点是各类中的每种方法都可以单独完成这件事；正确运用分类加法计数原理的关键是明确分类的标准并做到不重不漏.
2.当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理.
N＝m1×m2×…×mn
1.思考辨析，判断正误(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )提示 在分类加法计数原理中，两类不同的方案中，每一种方法都不相同.(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.( )
2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )A.6 B.5 C.3 D.2解析 由分类加法计数原理知，共有3＋2＝5(种)不同的选法.
3.现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )A.39 B.24 C.15 D.16解析 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.
4.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有__________种不同的取法.
解析 由分步乘法计数原理知，共有6×8＝48(种)不同的取法.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________.解析 法一 根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
法二 分析个位数字，可分以下几类：个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个；个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位数字是7的有6个；……个位数字是2的有1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
迁移1 若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有 多少个？解 当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；同理可知，当个位数字是2时，共7个；当个位数字是0时，共9个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).
迁移2 用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数__________个.解析 分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12，21，23，32，13，31，共6个；第三类为三位整数，有123，132，231，213，321，312，共6个，∴由分类加法计数原理知共可写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15(个).
训练1 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A.14 B.13 C.12 D.10解析 由关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，得a＝0，b∈R或a≠0时，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝0时，b＝－1，0，1，2，有4种可能；若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能.∴由分类加法计数原理知共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
例2 在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0，1，2，3}内取值，则可以组成多少个不同的点P?解 确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标.第一步，确定横坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，也有4种方法.根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.故可以组成16个不同的点P.
应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事.(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成，即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行.(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整.
训练2 用0，1，2，3，4，5，6这七个数字共能组成多少个两位数？解 第一步，确定十位数字，1，2，3，4，5，6六个数字都可以选择，有6种方法；第二步，确定个位数字，0，1，2，3，4，5，6七个数字都可以选择，有7种选法.根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6×7＝42(个).故可以组成42个两位数.
题型三 两个计数原理的简单应用
例3 现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？解 (1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种).(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班学生中选一人任组长.所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种).
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解 分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9 种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).
(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.
训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解 由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.法一 分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选教日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.
法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同选法.
1.(1)利用分类加法计数原理的解题方法：根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类.(2)利用分步乘法计数原理的解题方法：按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.2.应用两个计数原理时，一定要明确是“分类”还是“分步”.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )A.24种 B.9种 C.3种 D.26种解析 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.
2.已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )A.1 B.3 C.6 D.9解析 可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点.
3.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有( )A.12种 B.7种 C.14种 D.49种解析 完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场.第一步进门共有4＋3＝7(种)方法，第二步出门共有4＋3＝7(种)方法.由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种).
4.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A.10种 B.20种 C.25种 D.32种解析 每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种).
5.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A.60 B.48 C.36 D.24解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个).
6.已知a∈{2，4，6，8}，b∈{3，5，7，9}，则能使lgab>1的对数值有__________个.解析 分四类，当a＝2时，b取3，5，7，9四种情况；当a＝4时，b取5，7，9三种情况；当a＝6时，b取7，9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10种，又lg23＝lg49，所以对数值有9个.
7.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为__________.解析 由题意知本题是一个分类计数问题.若个位数字为0，则前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数.
8.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种.
解析 按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1，4，共2种；第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种.根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况.
9.用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数.解 分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个.由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”.
10.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？
解 完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都能完成，因此应用分类加法计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的带法.
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？
解 (2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的带法.(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20(种)选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15(种)选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12(种)选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有20＋15＋12＝47(种)不同的带法.
11.(多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层.该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
A.此人有4种选课方式B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第2节D.自习可安排在4节课中的任一节
解析 由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4(种)(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5(种).综上，自习可安排在4节课中的任一节.故选BD.
12.在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法.
解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2×3＝6(种)不同的方法.
13.已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中所取两数满足m＞n的数对有多少个？解 (1)因为集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，所以先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25(个)不同的数对.(2)在(1)中的25个数对中所取两数满足m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果.综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)不同的数对.
14.设A＝{1，2，3，…，10}，若方程x2－bx－c＝0满足b，c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为“漂亮方程”，则“漂亮方程”的总个数为( )A.8个 B.10个 C.12个 D.14个解析 用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b：c＝2时，有2×1＝2，b＝2－1＝1，则“漂亮方程”为x2－x－2＝0；c＝3时，有3×1＝3，b＝3－1＝2，则“漂亮方程”为x2－2x－3＝0；
c＝4时，有4×1＝4，b＝4－1＝3，则“漂亮方程”为x2－3x－4＝0(同时，4＝2×2，b＝2－2＝0∉A，故舍去)c＝5时，有5×1＝5，b＝5－1＝4，则“漂亮方程”为x2－4x－5＝0；c＝6时，有6×1＝6，b＝6－1＝5，则“漂亮方程”为x2－5x－6＝0；同时，有2×3＝6，b＝3－2＝1，则“漂亮方程”为x2－x－6＝0；c＝7时，有7×1＝7，b＝7－1＝6，则“漂亮方程”为x2－6x－7＝0；c＝8时，有8×1＝8，b＝8－1＝7，则“漂亮方程”为x2－7x－8＝0；同时，有2×4＝8，b＝4－2＝2，则“漂亮方程”为x2－2x－8＝0；c＝9时，有9×1＝9，b＝9－1＝8，则“漂亮方程”为x2－8x－9＝0(同时，9＝3×3，b＝3－3＝0∉A，故舍去)c＝10时，有10×1＝10，b＝10－1＝9，则“漂亮方程”为x2－9x－10＝0；同时，有2×5＝10，b＝5－2＝3，则“漂亮方程”为x2－3x－10＝0.综合可得，共12个“漂亮方程”.
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