【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件章末检测卷（四）

章末检测卷(四)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若A＝2A，则m的值为(　　)

A.5    B.3 

C.6   D.7

答案　A

解析　依题意得＝2·，

化简得(m－3)·(m－4)＝2，解得m＝2或m＝5，

又m≥5，∴m＝5，故选A.

2.一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　)

A.40   B.74 

C.84   D.200

答案　B

解析　分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；

第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；

第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，

由分类加法计数原理得共有不同选法的种数为CC＋CC＋CC＝74.

3.若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)

A.32   B.－32 

C.1 024   D.512

答案　A

解析　由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋

C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.

4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有(　　)

A.A种   B.AA种

C.CA种   D.CCA种

答案　C

解析　先将4名水暖工选出2人分成一组，另外两人分别为一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种分配方案.

5.(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为(　　)

A.5   B.3 

C.2   D.0

答案　A

解析　常数项为C·22·C＝4，x7的系数为C·C·(－1)5＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.

6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为(　　)

A.AA   B.AAA

C.CAA   D.AAA

答案　D

解析　先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A种放法，再考虑4幅油画本身排放有A种方法，5幅国画本身排放有A种方法，故不同的排列法有AAA种.

7.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为(　　)

A.－   B.－ 

C.－   D.－1

答案　B

解析　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，

再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.

两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.

又由条件可知a5＝－1，

故＝＝－.

8.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)

A.第9项   B.第10项

C.第19项   D.第20项

答案　D

解析　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C＋C＋C＝5＋15＋35＝55，

∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.下列是组合问题的是(　　)

A.平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

B.10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？

C.从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？

D.从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？

答案　ABC

解析　A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；

B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；

C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；

D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.

10.满足不等式A－n<7的n的值为(　　)

A.3   B.4 

C.5   D.6

答案　AB

解析　由A－n＜7，

得(n－1)(n－2)－n＜7，

整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.

又n－1≥2且n∈N＋，即n≥3且n∈N＋，

所以n＝3或n＝4.

11.男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则女生有(　　)

A.2人   B.3人

C.4人   D.5人

答案　AB

解析　设男生有x人，则女生有(8－x)人.

∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，

∴C·C＝30，

∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，

或x(x－1)(8－x)＝3×4×5.

∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3，

∴女生有2人或3人.

12.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝(　　)

A.－3   B.－1 

C.1   D.3

答案　AC

解析　令x＝1，由(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6可得，(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，

所以1＋m＝2或1＋m＝－2，

解得m＝1或m＝－3.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.

答案　240

解析　分两步完成：

第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A种种植方法；

第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A种种植方法.

由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A·A＝240(种).

14.(1＋sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项为，则x在[0，2π]内的值为__________.

答案　或

解析　由题意，得T4＝Csin3x＝20sin3x＝，∴sin x＝.

∵x∈[0，2π]，∴x＝或.

15.将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有__________种.

答案　30

解析　先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，

若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；

若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法.

故共有6×(1＋4)＝30(种)放法.

16.若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为__________，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝__________.(第一空3分，第二空2分)

答案　405　1 024

解析　由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10＝[－3＋(1－x)]10，

所以展开式的第9项为

T9＝C(－3)2(1－x)8＝405(1－x)8，

即a8＝405.

令x＝0，则a0＋a1＋…＋a10＝(2＋0)10＝1 024.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N＋}，B＝{x||x－6|<3，x∈N＋}.试问：

(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？

(2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？

解　A＝{3，4，5，6，7}，B＝{4，5，6，7，8}.

(1)A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；

B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个).

又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，

所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点.

(2)A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，则这样的三位数共有C＝20(个).

18.(12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的倍，试求展开式中二项式系数最大的项.

解　二项展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，

由题意知展开式中第r＋1项系数是第r项系数的2倍，是第r＋2项系数的倍，

∴解得n＝7.

∴展开式中二项式系数最大的项是

T4＝C(2)3＝280x和T5＝

C(2)4＝560x2.

19.(12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.

(1)A，B必须被选出；

(2)至少有2名女生被选出；

(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.

解　(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C＝120.

(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生.

所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.

(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务.

根据分步乘法计数原理，所有选法数为C·C·A＝25 200.

20.(12分)设＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列，

(1)求展开式的中间项；

(2)求展开式中所有含x的奇次幂项的系数和.

解　(1)依题意a0＝1，a1＝，a2＝C.

由2a1＝a0＋a2，得m＝1＋C，

解得m＝8或m＝1(应舍去)，

所以展开式的中间项是第5项，

为T5＝C＝x4.

(2)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，即＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝，

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝，

所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝，

所以展开式中所有含x的奇次幂项的系数和为.

21.(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数.

(1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；

(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.

解　(1)1，2，3，4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.

(2)需要考查5个数中相同数的个数.

若5个数各不相同，有A＝120(个)；

若有2个数相同，则有＝60(个)；

若有3个数相同，则有＝20(个)；

若有4个数相同，则有＝5(个)；

若5个数全相同，则有1个.

22.(12分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数.

(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

解　(1)将所有的三位偶数分为两类：

①若个位数为0，则共有A＝12(个)；

②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个).

所以共有12＋18＝30(个)符合题意的三位偶数.

(2)将这些“凹数”分为三类：

①若十位数字为0，则共有A＝12(个)；

②若十位数字为1，则共有A＝6(个)；

③若十位数字为2，则共有A＝2(个).

所以共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”.

(3)将符合题意的五位数分为三类：

①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12(个)；

②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·C·A＝8(个)；

③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·C·A＝8(个).

所以共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数.