【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件进阶训练5　(范围：2.5～2.7)

进阶训练5　(范围：2.5～2.7)

一、基础达标

1.已知圆C以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是(　　)

A.在圆内   B.在圆上

C.在圆外   D.无法判断

答案　B

解析　点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆C上.

2.经过点M(2，1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)

A.x＋y－5＝0   B.x＋y＋5＝0

C.2x＋y－5＝0   D.2x＋y＋5＝0

答案　C

解析　∵M(2，1)在圆上，

∴切线与MO垂直.

又kMO＝，∴切线斜率为－2.

又过点M(2，1)，

∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.

3.若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)

A.相交   B.相切

C.相离   D.不确定

答案　A

解析　依题意，直线l与圆C相切，

则＝，解得k＝±1.

又k<0，所以k＝－1，

于是直线l的方程为x＋y－1＝0.

圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<，

所以直线l与圆D相交，故选A.

4.已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是(　　)

A.相切   B.相交

C.相离   D.不能确定

答案　A

解析　由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，

因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，

所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，

所以m＝2.

由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切.故选A.

5.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　)

A.1   B. 

C.2   D.2

答案　A

解析　由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.

因为直线l经过点(1，0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.

又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝2.

又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A.

6.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是________.

答案　－

解析　由x2＋y2－4x－4y＋7＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝1，它表示以(2，2)为圆心，1为半径的圆.

设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值.

由＝1，得b＝±.故y－x的最小值为－.

7.若圆x2＋y2－m＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0内切，则m的值是________.

答案　1或25

解析　把圆x2＋y2－m＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0分别化为标准方程得：

x2＋y2＝m，(x－2)2＋y2＝9，

故圆心坐标分别为(0，0)和(2，0)，半径分别为R＝和r＝3.

则圆心之间的距离d＝2，|R－r|＝|－3|，

由两圆内切，得|－3|＝2，∴m＝1或25.

8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

答案　(－2，－4)　5

解析　∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；

当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5<0，方程不表示圆.

9.已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长.

解　把圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0和圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的方程相减，

可得两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.

由于圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即圆C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心C2(1，1)，半径r2＝，求得点C2到公共弦所在的直线的距离d＝＝，故公共弦的长为2＝2＝.

10.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解　(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为直线l与圆C交于两点，

所以<1.

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.

二、能力提升

11.(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是(　　)

A.0<m<1   B.m<1

C.－2<m<1   D.－3<m<1

答案　AC

解析　圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1，0)，半径为.

因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，

所以直线与圆相交，

因此圆心到直线的距离d＝<，

所以|1＋m|<2，解得－3<m<1，

求其充分条件，即求其子集，故由选项易得A、C符合.故选A、C.

12.(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是(　　)

A.x＋y－2＝0   B.x＋y－4＝0

C.x＋y－8＝0   D.x＋y－10＝0

答案　AD

解析　根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3，3)，半径r＝6，

若直线l：x＋y－m＝0是垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，

则圆心到直线的距离为2，

则有d＝＝2，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，

即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.

13.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

(1)若点P运动到(1，3)处，求此时切线l的方程；

(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程.

解　把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，

∴圆心为C(－1，2)，半径r＝2.

(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件.

当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，

即kx－y＋3－k＝0，

则＝2，解得k＝－.

∴l的方程为y－3＝－(x－1)，

即3x＋4y－15＝0.

综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.

(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2

＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，

|PO|2＝x2＋y2.

∵|PM|＝|PO|，

∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，

整理，得2x－4y＋1＝0，

∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.

三、创新拓展

14.(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)

A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0

B.2ax1＋2by1＝a2＋b2

C.x1＋x2＝a

D.y1＋y2＝2b

答案　ABC

解析　由题意，由圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0

两圆的方程相减可得直线AB的方程为：2ax＋2by－a2－b2＝0，

即2ax＋2by＝a2＋b2，

分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得：2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2

两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，

所以选项A、B正确；

由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C正确，选项D不正确.