【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练11　数学归纳法

 限时小练11　数学归纳法

1.用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)”，由n＝k(n∈N＋)的假设证明n＝k＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(　　)

A.＋…＋＋

B.＋…＋＋＋

C.＋…＋＋

D.＋…＋＋

答案　D

解析　由所证明的等式可知，当n＝k＋1(k∈N＋)时，右边＝＋…＋＋＝＋…＋＋，故选D.

2.对于不等式<n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即<k＋1，

则当n＝k＋1时，＝

<＝＝(k＋1)＋1.

∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)

A.过程全部正确

B.n＝1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

答案　D

解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.

3.观察下列各式：

13＝12，

13＋23＝32，

13＋23＋33＝62，

13＋23＋33＋43＝102，

…

总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论.

解　观察各式，可得一般规律：13＋23＋33＋…＋n3＝.

用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时，左边＝13＝1，右边＝＝1，等式成立；

②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，

即13＋23＋33＋…＋k3＝，

那么当n＝k＋1时，

13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝＋(k＋1)3

＝(k＋1)2＋(k＋1)(k＋1)2

＝(k＋1)2

＝＝

＝，

故当n＝k＋1时，等式也成立.

综上可知，等式对于一切正整数n都成立.