【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练28　椭圆的标准方程

限时小练28　椭圆的标准方程

1.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)

A.±   B.±

C.±   D.±

答案　D

解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(O为坐标原点，F2为椭圆的另一个焦点)，

∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，

∵点P在椭圆上，∴＋＝1，

即y2＝，∴y＝±，

∴点M的纵坐标为±.

2.若椭圆3x2－ty2＝6的一个焦点为F(0，2)，则实数t＝________.

答案　－1

解析　椭圆3x2－ty2＝6的标准方程为

＋＝1，

因为其一个焦点为F(0，2)，

所以a2＝－，b2＝2，所以－－2＝4，

解得t＝－1.

3.如图，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.

(1)求△AF1B的周长.

(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？

解　(1)由题意知A，B在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，

|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，

|AF2|＋|BF2|＝|AB|，

∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|

＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|

＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)

＝2a＋2a＝10＋10＝20，

∴△AF1B的周长为20.

(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变.

理由：|AF1|＋|BF1|＋|AB|

＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|

＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，和AB与x轴是否垂直无关.