【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练38　曲线与方程

限时小练38　曲线与方程

1.方程xy(x＋y)＝1所表示的曲线(　　)

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线y＝x对称

答案　D

解析　将方程xy(x＋y)＝1中的x替换为y，y替换为x，

则方程变为yx(y＋x)＝1，即xy(x＋y)＝1，与原方程相同，

故曲线关于直线y＝x对称.

2.已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是(　　)

A.x2＝－(y－1)

B.x2＝－(y－1)(x≠±1)

C.xy＝x2－1

D.xy＝x2－1(x≠±1)

答案　B

解析　设M(x，y)，

由题意得－＝2(x≠±1)，

整理得x2＝1－y(x≠±1)，

即x2＝－(y－1)(x≠±1).

3.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上异于点A的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.

解　(1)设AP的中点为M(x，y)，

由中点坐标公式可知，

P点坐标为(2x－2，2y).

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).

(2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.