人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）教学演示ppt课件

课题名

4.5.2用二分法求解方程的近似解

教学目标

1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；

2.了解二分法求解方程近似解的步骤；

3.进一步加深对函数零点存在定理的理解。

教学重点

理解二分法的概念及其使用条件

教学难点

掌握二分法求解方程近似解的步骤

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

问题1：

     在一个暴风雨的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

    如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．

   想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

思路1：直接一个个电线杆去寻找．

思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点

如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．

    在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．

问题2：假设电话线故障点大概在函数的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？

步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得

所以零点在区间(2.5，3)内

步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得

所以零点在区间(2.5，2.75)内. 

所以零点所在的范围确实越来越小

二、讲授新课

二分法的定义

对于在区间[a，b]上图象连续不断且  f(a)·f(b)＜0  的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二   ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点  ，进而得到零点近似值    的方法叫做二分法．

思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．

用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：

(1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0  ，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点x1；

(3)计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，则 x1   就是函数的零点；

②若f(a)·f(x1)<0(此时零点x0∈ (a，x1) )，则令b＝x1；

③若f(x1)·f(b)<0(此时零点x0∈(x1，b))，则令a＝x1.

(4)判断是否达到精确度ε：即若  |a－b|<ε ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)

(1)×　(2)×　(3)×

2.下列选项中，每个函数都有零点，但不能用二分法求图中函数零点的是(　C　)

题型一  二分法的概念

点拨：判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.

例1 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(D)

A．4,4　　 　B．3,4　　   C．5,4　     D．4,3

【跟踪训练】1

观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　A　)

题型二  用二分法求函数零点的近似值

点拨：用二分法求函数零点近似值的注意点

1.在第一步中要使：,①区间[a，b]的长度尽量小；②fa，fb的值比较容易计算，且fa·fb<0,

2.二分法仅对函数变号零点即零点两侧某区域内函数值异号适用.

3.利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.

例2  用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　A　)

A．(0,0.5)，f(0.25)　　　 B．(0,1)，f(0.25)

C．(0.5,1)，f(0.75)   D．(0,0.5)，f(0.125)

【跟踪训练】2

 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为____1.5625 ____．

三、课堂小结

1.理解二分法的定义和思想，

注意：保证该函数在零点所在的区间内是连续不断；

2.用二分法求方程的近似解的步骤.

四、达标检测

1.关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(D　)

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点

C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点

D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解

2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则( B)

A．f(x)在上有零点      B．f(x)在上有零点

C．f(x)在上无零点      D．f(x)在上无零点

3.下列函数不能用二分法求零点的是(C)

A．f(x)＝3x－2

B．f(x)＝log2x＋2x－9

C．f(x)＝(2x－3)2

D．f(x)＝3x－3

4.用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2,4] 的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是__(2,3)_.

5.已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.

(1)证明f(x)有且只有一个零点；

(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.

解：(1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)至多有一个零点．

由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.

∴f(x)在(2,3)内有一个零点．

∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．

(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝，f()＝ln＋5－6＝ln－1<0，

∴f(3)·f()<0.

∴f(x)零点x0∈(，3)．取x2＝＝，

则f()＝ln＋2×－6＝ln－>0

∴f()·f()<0.∴x0∈(，)．

∵|－|＝≤，∴满足题意的区间为(，)．

布置作业

完成对应的课后练习

板书设计

1.理解二分法的定义和思想，

2.用二分法求方程的近似解的步骤：

(1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0  ，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点x1；

(3)计算f(x1)；

(4)判断是否达到精确度ε：即若  |a－b|<ε ，则得到零点近似值a

(或b)；否则重复(2)～(4)．

教学反思

学生对于二分法的理解还不是很到位，还不能比较灵活的确定近似值。