冀教版八年级上册12.4 分式方程教案

12.4分式方程

教学目标

【知识与能力】

1.理解分式方程的概念及意义.

2.了解解分式方程的基本思路和解法.

3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.

【过程与方法】

1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.

2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.

【情感态度价值观】

通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.

教学重难点

【教学重点】

可化为一元一次方程的分式方程的解法.

【教学难点】  

理解解分式方程时可能无解的原因.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件1】　小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.

教师提出问题:

(1)上述问题中有哪些等量关系?

(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.

(3)如果设小红步行的时间为xh,又应该怎么列方程?

在活动中教师要关注:

(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;

(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?

(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?

[设计意图]　先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.

导入二:

【课件2】　西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?

三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:=1;猪八戒:=1;沙和尚:2+=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗?

同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?

[设计意图]　创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.

二、新知构建：

探究一:分式方程及其解法

思路一

1.分式方程

【课件3】　一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?

教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程.

〔解析〕　设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千米/时,顺流航行90千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用的时间为小时.可列方程.

教师提问:刚才我们所接触的方程=9,=1,与以前所学的整式方程有何不同?

学生思考,议论后在全班交流.

归纳:该类方程分母含有未知数.

教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

[知识拓展]　(1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.

2.分式方程的解法

【课件4】

　如何解分式方程=9和=1呢?

在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.

引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.

说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.

在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;

(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;

(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.

　　[过渡语]　通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗?

归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.

[设计意图]　怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.

思路二

1.分式方程

=9,=1有什么特点?

学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.

教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).

提问:你还能举出一个分式方程吗?

【课件5】　判断下列各式哪个是分式方程.

(1)x+y=5;　(2);　(3);　(4);　(5)+2x=5.

根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.

2.分式方程的解法

学生自主探索,并尝试选分式方程求解.

【课件6】

　解方程.

解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:

2(x+1)=5+x,

 2x+2=5+x,

 x=3.

检验:把x=3代入原方程左边=,右边=,左边=右边.所以x=3是原分式方程的解.

学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.

结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.

【课件7】　如何解课件3中所列出的分式方程?

解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.

检验:将v=6代入分式方程中,左边=,右边=,左边=右边,因此v=6是原分式方程的解.

师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.

【拓展延伸】　分式方程与整式方程的定义区分:

探究二:分式方程的增根

　　[过渡语]　刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程时要验根.那么为什么一定要验根呢?学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解.

【课件8】　解分式方程+1.

教师提出问题,让学生解方程.

解:方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),

解这个整式方程,得x=1.

师:x=1是方程的解吗?为什么?

说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.

归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.

【课件9】

　解方程:-=3.

解:方程两边同乘x+2,

得2-(2-x)=3(x+2),

解这个整式方程,得x=-3,

经检验,x=-3是原分式方程的根.

[知识拓展]　(1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.

(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.

三、课堂小结：

解分式方程的一般步骤:

1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.

2.解这个整式方程.

3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.

[设计意图]　学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.