冀教版八年级上册第十四章 实数14.3 实数教学设计

14.3实数（2）

教学目标

【知识与能力】

1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.

2.能正确对实数进行分类.

3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数.

【过程与方法】

通过在数轴上画出表示π和√2的点,理解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合的思想.

【情感态度价值观】

引导学生积极参与教学活动,产生探求新知的欲望,增强学习数学的兴趣.

教学重难点

【教学重点】

实数的分类.

【教学难点】  

实数与数轴上的点一一对应.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

当数从有理数扩充到实数以后,相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢?

【课件1】

【提出问题】

(1)2的相反数是　　　　,-2的相反数是　　　　,0的相反数是　　　　; 

(2)=　　　　,=　　　　,|0|=　　　　; 

(3)5的倒数是　　　　,-的倒数是　　　　. 

(4)有理数可以用数轴上的点表示吗?

[设计意图]　复习巩固有理数的知识,为学习新知识做好准备.

导入二:

【课件2】　阅读下面的一段对话.

小明说:“有理数和数轴上的点是一一对应的.”

小丽说:“你说得不对,应是实数和数轴上的点是一一对应的.”

同学们,两人到底谁说得对呢?我相信,当你认真学完本节后,答案自然能见分晓.

[设计意图]　以两人对话的形式引入本节课题,易提高学生的学习兴趣.

导入三:

【课件3】

1.填空:无限不循环小数叫做　　　　,有理数和　　　　统称为实数. 

2.判断对错:对的画“?”,错的画“×”.

(1)是有理数. (　　)

(2)-是无理数. (　　)

(3)是无理数. (　　)

(4)π是无理数. (　　)

(5)3.14159265是无理数. (　　)

(6)0.是无理数. (　　)

师:上节课我们学习了什么是实数,那么什么是实数呢?(出示下图)

师:初一的时候,我们学过有理数,有理数包括整数和分数.这学期我们学习了一种新的数,什么数?无理数.无限不循环小数就是无理数.无理数的出现,使数的范围扩大了.有理数和无理数合在一起统称为实数.

师:大家还记不记得,初一的时候我们学过不少有关有理数的结论,这些结论当时是针对有理数说的,现在数的范围扩大到了实数,这些结论还成立吗?我们一起来看一看.

[设计意图]　复习无理数与实数的相关知识,从数的扩充和发展了解数的范围的扩大,设置疑问,确定本节课要研究的内容.

二、新知构建：

活动一:观察与思考——实数与数轴上的点的一一对应关系

思路一

　　[过渡语]　我们知道任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢?

【课件4】　(教材第73页观察与思考)

1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.

(1)线段OA,OB的长分别是多少?

(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?

说明:让学生利用边长是面积的算术平方根,即边长=,求出两个正方形的边长.从而确定OA,BO的长和点A,B所对应的数.

通过探究得出:(1)线段OA,OB的长分别是,;(2)点A,B在数轴上对应的数分别是,.

根据上面的观察我们不难得到,这两个无理数可以用数轴上的点来表示,那么对于圆周率π是否可以用数轴上的点表示出来呢?

【课件5】

2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置.

(1)线段OP'的长是多少?

(2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数?

根据圆的周长公式得到点P运动的距离就是直径为1的圆的周长π,所以线段OP'=π,点P'对应的数是π.

因此得到这样的结论,无理数π也可以用数轴上的点表示出来.

师:事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.因此可以猜想一下,数轴上的点与实数的关系是什么?

生:实数包括有理数和无理数,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,任何一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,总之,数轴上的点表示实数.

师:总结得非常好!当数从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就一一对应了,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.

[知识拓展]　每个有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示有理数;同样地,每个无理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示无理数.由此可以知道,实数和数轴上的点是一一对应的.

思路二

【课件6】　请你在数轴上表示出-1,0,,4,-1.5.

结论:每个有理数都可以用数轴上的点来表示.

师:我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么每个无理数也可以用数轴上的点来表示吗?答案是肯定的,每个无理数也可以用数轴上的点来表示.

想一想,怎样表示和π这两个无理数呢?

如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开,得到四个直角边都相等的三角形,即可拼成一个大正方形.

想一想:大正方形的面积是多少?它的边长是多少?()

这就是说,边长是1的正方形的对角线长是,利用这一事实,我们容易在数轴上画出表示的点.

那么如何在数轴上表示圆周率π呢?请你想一想直径是多少的圆,其周长是π.

学生经过讨论得出直径是1的圆的周长是π,因此可以利用圆滚动的距离来表示π.(利用多媒体演示圆运动的过程)

师:每个有理数、每个无理数都可以用数轴上的点来表示,这说明每个实数都可以用数轴上的点来表示.

师:(指准数轴)数轴是由密密麻麻的点组成的,可以想象,数轴上的每一个点,要么表示的是有理数,要么表示的是无理数.

于是我们可以得到这样的结论:每一个实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,也就是实数与数轴上的点一一对应.

我们利用数轴来表示实数,将数和图形联系在一起,这给我们研究数学问题带来了方便,这也是数学中一个相当重要的思想——数形结合思想.

师:请大家把这个结论读两遍.(生读)

师:读了两遍有什么感觉?可能有同学会说:“这个结论读起来有点像绕口令,怎么感觉上半句话和下半句话的意思是一样的?”上半句话是,每一个实数都可以用数轴上的点表示,下半句话是,数轴上的每一个点都表示一个实数.上半句话和下半句话的意思一样吗?不一样.比如说,我们班每个同学都坐在电影院的一个座位上,反过来,电影院的每一个座位上都坐着我们班的一个同学.仔细体会,上半句话和下半句话的意思是不一样的.

【课件7】　判断对错:对的画“?”,错的画“×”.

(1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示. (　　)

(2)数轴上所有的点都表示有理数. (　　)

(3)所有的实数都可以用数轴上的点表示. (　　)

(4)数轴上所有的点都表示实数. (　　)

[设计意图]　通过数形结合,让学生体会无理数也可以用数轴上的点表示,同时利用类比的思想,让学生体会知识的迁移过程.

活动二:大家谈谈——实数的计算与分类

　　[过渡语]　我们已经学习了如何求一个有理数的相反数、绝对值和倒数.现在数扩充到了实数,怎样求实数的绝对值、相反数和倒数呢?

1.实数的计算

思路一

【课件8】　参照有理数的有关概念,谈谈实数的下列概念:

(1)实数的绝对值.

(2)实数的相反数.

(3)实数的倒数.

通过学生的交谈,使学生明确在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.

【课件9】

(1)2的相反数是　　　　,|2|=　　　　,2的倒数是　　　　; 

(2)-π的相反数是　　　　,=　　　　,-π的倒数是　　　　; 

(3)0的相反数是　　　　,=　　　　. 

学生独立完成,并归纳总结出如何求一个实数的相反数,以及如何求一个实数的绝对值和倒数.

(1)当a为实数时,a的相反数为-a;

(2)当a为正实数时,=a,即正实数的绝对值是它本身;

(3)当a为负实数时,=-a,即负实数的绝对值是它的相反数;

(4)当a为0时,=0,即0的绝对值是0;

(5)当a≠0时,a的倒数是.

思路二

师:初一的时候,我们学过相反数和绝对值,谁还记得什么是相反数?什么是绝对值?

生:……

师:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数.(指准数轴上表示-4的点)数轴上表示-4的点与原点的距离叫做-4的绝对值,一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.

师:初一的时候,相反数和绝对值都是相对有理数说的,现在数的范围扩大了,对实数来说,也一样有相反数和绝对值.譬如,与-互为相反数(板书:与-互为相反数);的绝对值等于(板书:||=),-的绝对值也等于(板书:|-|=).

师:关于相反数和绝对值我们有下面的结论.

(1)数a的相反数是-a.

(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.用字母表示:

师:请大家把这两个结论读一遍.(生读)

师:这两个结论对有理数来说是成立的,对实数来说也同样成立.其实不仅如此,倒数也是一样的,实数a的倒数是(a≠0).

[设计意图]　类比有理数和实数,明确两者之间的区别和联系.让学生明确有理数的一些运算对于实数同样成立.

2.做一做——体会实数的分类

　　[过渡语]　有理数、无理数统称为实数,你能把我们学过的数进行一下分类吗?

生1:实数

生2:实数

生3:无理数也像有理数一样,分为正无理数和负无理数,是正无理数,-是负无理数,因此我这样分类:

实数

点评:强调概念的实际背景,帮助学生进一步理解概念,改变机械记忆概念的学习习惯.

[设计意图]　类比有理数的分类方法,让学生总结出实数的分类方法,提高学生的分类归纳能力.

三、课堂小结：

1.实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的点来表示.反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.

2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义完全一样.

3.实数分类可以从定义上去分,也可以从正负上去分.