冀教版八年级上册15.3 二次根式的加减教案设计

15.3二次根式的加减运算

教学目标

【知识与能力】

1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.

2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.

【过程与方法】

1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.

2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.

【情感态度价值观】

1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.

2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.

教学重难点

【教学重点】

二次根式的加减运算法则.

【教学难点】  

能正确地计算二次根式的加减法.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

1.复习最简二次根式

(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?

(2)2与的实质区别是什么?

2.复习整式的加减

【课件1】　计算下列各式.

(1)2x+3x;　(2)2x2-3x2+5x2;　(3)y+2y+3y;　(4)3a2-2a2+a2.

说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.

[设计意图]　复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.

导入二:

【课件2】　一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是米,第二块草坪的长是20米,宽也是米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?

问题:10+20等于多少?

说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.

[设计意图]　从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.

导入三:

引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.

提问:(1)2+3等于几?(2)呢?(3)呢?

教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.

[设计意图]　先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.

二、新知构建：

活动一:二次根式的加减运算

　　[过渡语]　我们学习了整式的加减运算,那么二次根式又该怎样进行加减运算呢?

思路一

1.试着做做

【课件3】　计算下列各式.

(1)5+2;　(2);　(3)6-.

2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么?

3.你能试着解决它们吗?

解:(1)5+2=(5+2)=7.

(2)=2+5=(2+5)=7.

(3)6-=6-.

归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?

4.像5和2,3和2,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:

(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关.

5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?

引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变.

[设计意图]　通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系.

思路二

(针对导入三)

说理:事实上,如果,那么,而=2,也就是说=2,这显然是错误的.

提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?

(2)那么到底等于多少呢?呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?

[设计意图]　通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.

计算:-.

解:-=3+4-5=(3+4-5)=2.

上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.

二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.

在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用.

活动二:例题讲解

【课件4】

　计算下列各式.

(1)2-3+5;

(2)-.

先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.

解:(1)原式=2-6+15=11.

(2)原式=2-=2--.

说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.

请同学们完成下面两道题.

【课件5】　(教材第99页做一做)计算下列各式.

(1)2-3+5;　(2)-.

引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成.

提示:(1)35-5.　(2)-.

【课件6】

　计算下列各式.

(1)2-3-;　(2)(-10)-3.

提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗?

(2)能否将它们化简呢?

学生自主完成.

解:(1)2-3-=4--3=0.

(2)(-10)-3=4-10-3=4-2-9=5-11.

总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.

[知识拓展]　在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:

(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+=2是错误的,运算时一定要注意.

(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.

(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如+5,不能写成5.

(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:

　　[设计意图]　通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.

三、课堂小结：

1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.

2.二次根式的加减法的步骤:

(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;

(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;

(3)合并被开方数相同的最简二次根式.