2021-2022学年广东省汕头市澄海区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省汕头市澄海区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 若一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点不包括端点，过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为，则该直线的函数表达式是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知，则的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，已知、、分别是各边的中点，则以下说法错误的是(    )

A. 与的面积之和等于四边形的面积
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是正方形
 

10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，，依此规律，则点的坐标是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 当时，二次根式的值是______．
12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______．
13. 如图，在中，，，，则的长为______．

14. 已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是______．

15. 某种书籍每本定价元，如果一次购买本以上，超过本的部分打八折，则付款金额与购书数量之间的函数关系为______．
16. 如图，在四边形中，，厘米，厘米，、分别从、同时出发，以厘米秒的速度由向运动，以厘米秒的速度由向运动．设运动的时间为秒，则当______时，直线将四边形截出一个平行四边形．
17. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，是的中点，点在上，则的周长最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    计算：．
19. 本小题分
    如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且请判断与的数量关系，并说明理由．

20. 本小题分
    已知：直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于点、，点的坐标为求直线的函数解析式及点的坐标．

21. 本小题分
    为切实做好校内“午托”工作，某学校食堂为参加“午托”的学生提供了四种价格的午餐供其选择，四种价格分别是：元；：元；：元；：元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题：
    
    求被抽查的学生人数及的值，并补全条形统计图；
    被抽查学生购买午餐费用的平均价为______，众数为______，中位数为______；
    若该校参加“午托”的学生有人，请估计购买元午餐的学生有多少人？
22. 本小题分
    某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，如图所示，，，斜坡米，斜坡与地平面的夹角，为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，将斜坡与地平面的夹角改为求的长度．结果保留根号

23. 本小题分
    为建设美丽乡村，改善农村生活环境，我区某村委会大力开展绿化行动，计划购买甲、乙两种树苗共棵，甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．
    若购买这两种树苗共用去元，则甲、乙两种树苗各购买多少棵？
    若要使这批树苗的总成活率不低于，则甲种树苗至多购买多少棵？
    在的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
24. 本小题分
    已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连结、相交于点，与相交于点．
    求证：；
    若，求证：四边形是菱形；
    在的条件下，当时，连结，若，求的面积．

25. 本小题分
    已知：在中，，，点为直线上一动点点不与、重合以为边作正方形，连接．
    如图，当点在线段上时，求证：．
    如图和，当点在线段的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断、、三条线段之间的关系，并证明之；
    如图，若连接正方形对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义求解即可．
本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，为边不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
以，，为边能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的众数是，
，
将数据重新排列为、、、、，
所以这组数据的中位数为，
故选：．
先根据众数的概念得出的值，再利用中位数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减的法则，二次根式的除法法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，求得的度数，即可求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意平行四边形的对角相等定理的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
则，
长不可能是，
故选：．
根据题意，求出的长，的长介于和的长度之间，据此即可选出正确答案．
本题考查了勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，

设点坐标为，
点在第一象限，
，，
矩形的周长为，
，
，
即该直线的函数表达式是，
故选：．
设点坐标为，由坐标的意义可知，，根据围成的矩形的周长为，可得到、之间的关系式．
本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式根据坐标的意义得出、之间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
，
，
的平方根是．
故选：．
利用二次根式有意义的条件可得的值，进而可得的值，然后再求出的平方根即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
 

9.【答案】 

【解析】解：点、、分别是三边的中点，
、为的中位线，
，且；
同理，且，
四边形一定是平行四边形，故B正确；
∽，∽，
，，
和的面积之和等于，
四边形的面积等于，
和的面积之和等于四边形的面积，故A正确；
，且，，
，
四边形是菱形，故C正确；
，则四边形是矩形，不一定为正方形，故D错误；
故选：．
根据三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．
本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由已知，点每次旋转转动，则转动一周需转动次，每次转动点到原点的距离变为转动前的倍，
，
点在第三象限的角平分线上，
，
点的坐标为，
故选：．
本题点坐标变化规律要分别从旋转次数与点所在象限或坐标轴、点到原点的距离与旋转次数的对应关系．
本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，．
故答案为：．
把代入二次根式，即可解决问题．
本题主要考查二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的化简求值．
 

12.【答案】 

【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，，
．
故答案为：．
利用同类二次根式定义：两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的，判断即可．
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而求出，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据函数图象可得：与轴交于点，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
首先根据函数图象可得出与轴交于点，再根据时，图象在轴下方，因此的取值范围是．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意可知：，
 故答案为：．
先求出购买本书的金额，再表示出超出本书的金额，然后相加得出答案．
本题主要考查列一次函数关系式，关键在于能够确定题目中各数量之间的关系．
 

16.【答案】或 

【解析】解：根据题意得：，，
则；
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
即秒时四边形是构成平行四边形，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
综上所述，或时，直线将四边形截出一个平行四边形．
故答案为：或．
设秒后四边形是平行四边形；根据题意得：，，由得出方程，解方程即可；若四边形是平行四边形，根据题意得：，，则，进而可得方程，再解即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于直线的对称点，连接与的交点为，此时的周长最小．
则的周长最小值为，
点的坐标为，四边形是矩形，
，，
，，
是的中点，
，
，
，，
的周长最小值为，
故答案为：．
如图，作点关于直线的对称点，连接与的交点为，此时的周长最小．则的周长最小值为，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理和三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查的是轴对称最短问题、矩形的性质，一次函数的应用，解题的关键是掌握轴对称最短路径的确定，灵活运用待定系数法求出一次函数解析式．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先化简，再进行乘法与除法运算，最后进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：，理由如下：
在平行四边形中，，．
，
，
四边形是平行四边形．
，． 

【解析】只要证明四边形是平行四边形，则可知线段与线段有怎样的数量关系和位置关系．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 

20.【答案】解：把代入得：，
，
把、分别代入得：，
解得：，
．
令得：，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】先求出点坐标，再根据和点坐标求出直线的函数解析式即可．
本题考查了一次函数的解析式、交点坐标，明确一次函数的相关性质并数形结合，是解题的关键．
 

21.【答案】元  元  元 

【解析】解：被抽查的学生人数有：人，
，即；
元的人数有：人，
补全统计图如下：


被抽查学生购买午餐费用的平均价为：元，
出现了次，出现的次数最多，
众数是元；
共有个数，中位数是低、个数的平均数，
中位数是：元；
故答案为：元，元，元；

根据题意得：
人，
答：估计购买元午餐的学生有人．
根据元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用整体减去其它所占的百分比，求出的值，然后用总人数乘以元的人数所占的百分比，求出元的人数，从而补全统计图；
根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；
用该校的总人数乘以购买元午餐的学生所占的百分比即可．
此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

22.【答案】解：过点作于点，

则，，
在中，，米，
，
，
解得，，
米，
在中，，
米，
米，
米，
即的长度为米． 

【解析】过点作于点，在中，，，解得，，则米，在中，，可得米，则米．
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设甲种树苗购买棵，乙种树苗购买棵，
依题意得：，
解得：．
答：甲种树苗购买棵，乙种树苗购买棵．
设甲种树苗购买棵，则乙种树苗购买棵，
依题意得：，
解得：．
答：甲种树苗至多购买株．
设购买树苗的费用为，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，．
答：应选购甲种树苗棵，则乙种树苗购买棵的费用最低，最低费用是元． 

【解析】设甲种树苗购买棵，乙种树苗购买棵，根据购买甲、乙两种树苗共棵且共用去元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设甲种树苗购买棵，则乙种树苗购买棵，根据这批树苗的总成活率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
用表示购买树苗的总费用，根据一次函数增减性讨论求最小值．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出代数式．
 

24.【答案】证明：，
，
即，
，，
≌，
．
，
，
由可知，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
延长交于，

．
，
四边形是菱形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明，根据全等三角形的判定推出≌，即可得出答案；
求出，证明，即可证出四边形是菱形；
延长交于，得，求出，再根据面积公式即可求出．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，菱形的判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：如图当点在线段的延长线上时，，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图：当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：是等腰三角形，理由如下：
，，
，
，
由可知：≌，
，
，
为直角三角形，
正方形中，为的中点，

在正方形中，，，
，
是等腰三角形． 

【解析】证明≌，得到，再利用，即可得到；
分情况讨论：当点在线段的延长线上时，，证明≌，得到，再利用，证明；当点在线段的反向延长线上时，，证明≌，得到，再利用即可证明；
证明为直角三角形，进一步可得，再根据，，即可证明．
本题是四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，结合图形分析．