2021-2022学年山东省烟台市福山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

2021-2022学年山东省烟台市福山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为：，点，的对应点分别为点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在反比例函数为常数上有三点，，，若，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 关于的方程的两个根，满足，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是(    )

A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是
C. 当时， D. 当时，

8. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在▱中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若，则______．
14. 如图，铁道路口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂端点下降时，长臂端点升高为______杆的宽度忽略不计

15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为：，则线段的长度为______．

16. 德尔塔是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有______人感染德尔塔病毒？
17. 如图，菱形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线与的交点恰好是坐标原点，已知点，，则的值是______．

18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点若，则的面积______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算：
    ；
    ．
    用两种不同的方法解方程：．
    方法一；
    方法二．
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
    求的取值范围；
    若，求的值．
21. 如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，交于点求，及的值．

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
    画出绕点顺时针旋转后得到的；
    以原点为位似中心，在图中画出将放大为原来的倍后的，并写出，的坐标．

23. 如图，在中，，轴，为坐标原点，的坐标为，反比例函数的图象的一支过点，反比例函数的图象的一支过点，过作轴于，若的面积为．
    求的值；
    求反比例函数的解析式．

24. 如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，重足为，点在的延长线上，，重足为，
    若，求证：四边形是菱形；
    若，的面积为，求菱形的面积．

25. 如图，在四边形中，，过点作于，若．
    求证：；
    连接交于点，若，，求的长．
     

26. 如图，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．
    求证：≌；
    如图若，，，求的长；
    如图，若的延长线经过的中点，求的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
与不是同类二次根式，
故A不符合题意；
B、，
与不是同类二次根式，
故B不符合题意；
C、，
与不是同类二次根式，
故C不符合题意；
D、，
与是同类二次根式，
故D符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的，即可解答．
本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：数轴可得，且，




．
故选：．
由数轴可得，，则利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，数轴，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：图形甲与图形乙是位似图形，位似比为：，，
，即，
解得，，
故选：．
根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设每年增长率为，绿地面积为，
依题意得第一年的绿地面积为：，则第二年的绿地面积为：，
则，
解得负值已舍，
故选：．
首先设每年增长率为，绿地面积为，依题意得第一年的绿地面积为：，则第二年的绿地面积为：；接下来根据题意列出方程；再解上面的方程即可得出答案．
此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量现在的量，增长用，减少用但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
反比例函数为常数的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而增大．
，
，，即．
故选：．
根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题．
本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，
，，
，
，
解得．
故选：．
因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值．
本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，
图象过，
，
，
蓄电池的电压是，
、B错误，不符合题意；
当时，，
C错误，不符合题意；
当时，，
由图象知：当时，，
D正确，符合题意；
故选：．
根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，也考查了等腰三角形的性质．
作于，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】
解：作于，如图，
，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，

．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】

解：在▱中，，，
四边形为平行四边形，，，
易得∽∽，
，，项错误；
，项错误；
，项错误；
，项正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件得到，，，求得，根据正方形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】
解：如图，设正方形是正方形沿轴向右平移后的正方形，
顶点，的坐标分别为和，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当点落在边上时，点的坐标为，
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，交轴于，如图，

轴，，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
的面积．
故选：．
过点作轴于点，交轴于，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，，则，然后根据矩形的性质得到的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程，即的拼图如图所示；

中间小正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积：，其边长为，
因此，选项所表示的图形符合题意，
故选：．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，
设，，，
则，
故答案为：．
根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．
已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意知，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
由题意证∽，可得，即，解之可得．
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
与成位似图形，相似比为：，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据位似图形的概念解答即可．
本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得：
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
人．
答：经过三轮传染后，一共有人感染德尔塔病毒．
故答案为：．
设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据“经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，再利用经过第三轮传染后感染了德尔塔病毒的人数经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数每轮传染中平均一个人传染的人数经过第二轮传染后感染了德尔塔病毒的人数，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
是等边三角形，
点，
，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：把点代入反比例函数，
得，
点，
把代入得，，
正比例函数的关系式为：；
当时，，
解得，
，
当代入，得，即，
，
．
故答案为：．
把点代入反比例函数关系式可求出的值，确定点的坐标，进而求出正比例函数的关系式，根据，求出点的横坐标，求出，代入求出，根据三角形的面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入解析式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

；
，
，
则或，
解得，；
，，，
，
则，
，． 

【解析】先化简各二次根式，再计算加减即可；
利用乘法分配律计算、化简二次根式，再进一步计算即可；
利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

20.【答案】解：由题意可知，，
整理得：，
解得：，
的取值范围是：；
由题意得：，
由根与系数的关系可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，，
又由中可知，
的值为． 

【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解法等知识点，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据建立不等式即可求解；
先提取公因式对等式变形为，再结合根与系数的关系求解即可．
 

21.【答案】解：根据题意知，，，
，
，∽，
，，
，
，
，
，
故，，． 

【解析】先证明，根据平行线分线段成比例定理求得：，证明∽，由相似三角形的性质求得两三角形的面积比，及的长度，进而求得：．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，或即为所求．
或，或．
 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，即可；
分两种情形，利用位似变换的性质作出图形即可．
本题考查作图位似变换，旋转变换，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：，
即，，
；
过点作轴于点，如图所示：

，轴，
，
，
，
∽，且，
，即，
，
点位于第二象限，
的坐标，
将点的坐标代入反比例函数中，
，
反比例函数的解析式为：． 

【解析】将的坐标为代入三角形的面积计算公式中即可求出的值；
过点作轴于点，利用∽求出的值，表示出点坐标，进而求出解析式．
本题考查反比例函数的几何意义以及待定系数法求解析式，熟练理解并掌握的几何意义以及待定系数法求解析式的基本方法是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是菱形，，
，
，，
，
为对角线的中点，
，
，
，
，
四边形是菱形；
，，的面积为，
，
，
连接，则，，
，，
∽，
，
，
，
，
菱形的面积． 

【解析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，连接，则，，根据相似三角形的性质得到，由菱形的面积公式即可得到结论．
 

25.【答案】证明：作，交的延长线于点，如图所示，

，，，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，，
，，
由知，≌，四边形是正方形，
，，，
，，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
即的长是． 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明和全等和求出的长．
作，交的延长线于点，然后即可得得到四边形的形状，再根据题目中的条件，可以证明和全等，然后即可得到结论成立；
根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到的长，然后根据的长，即可得到的长．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
，
，
，
∽，
，
由知：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
，即，
，
，
∽，
，即，
；
如图，延长、交于点，

，均为等腰三角形，且，
∽，
，
设，，，
则，，
，
，

的中点，
，
，
≌，
，
，
即，
∽，
，即，
，
解得：或舍去，
． 

【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
根据题意得出，，证四边形是平行四边形，得出，进而得出，由平行线性质得，进而证得结论；
先证明∽，得，根据四边形是平行四边形，得，，进而可得，求得，，再利用∽，求得答案；
延长、交于点，先证明∽，得出，设，，，则，，可得，再利用∽，列方程求解即可．