2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，则集合中元素的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 抛物线：的焦点到其准线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 设函数，则下列函数中为偶函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知等差数列的前项和为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，是两个不重合的平面，，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，若在上有个极大值，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知，，则下列结论不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，的导函数的图象如图所示，则(    )

A. 在上单调递增 B. 有个极值点
C. 在上单调递减 D.

11. 已知向量，，满足，，，设，则(    )

A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 无最大值

12. 已知函数若关于的不等式是自然对数的底数在上恒成立，则的取值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知某圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为______．
14. 若，则的值为______．
15. 铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用，近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是高速铁路的投资力度，铁路行业得到了快速发展．用，，，，分别表示年至年，得到动车组数量与相应年份编号之间的统计数据如表．

由表格可知，与之间存在线性相关关系，回归方程为，则估计年动车组的数量为______千组．

16. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，点，，在双曲线上，且四边形为等腰梯形，，，则双曲线的离心率为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知的内角，，的对边分别为，，，且．
    求；
    若，的面积为，求的周长．
18. 本小题分
    为加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高身体健康水平，某学校改进课程教学，增加学生体育锻炼时间．市体质监测中心抽取了该校高三班和高三班各名学生进行体质测试，得到如下数据：
    高三班名学生体质测试成绩单位：分

高三班名学生体质测试成绩单位：分

其中体质测试成绩在分以下为不合格，分以上为优秀．
求班名学生体质测试成绩的平均分，估计班学生体质测试成绩的优秀率；
市体质监测中心准备从这名学生中随机选出体质测试成绩不合格的名学生进行补考测试，记这人中来自班的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．

19. 本小题分
    已知等比数列的前项和为，，是与的等差中项．
    求的通项公式；
    设，求数列的前项和．
20. 本小题分
    如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点．
    证明：平面．
    若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．

21. 本小题分
    已知，分别是椭圆：的左、右顶点，是直线上的一动点的纵坐标不为零且不在椭圆上，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为，直线与轴的交点为，且面积的最大值为．
    求椭圆的方程；
    设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值．
22. 本小题分
    已知函数．
    若的最小值为，求的值；
    证明：当时，有两个不同的零点，，且．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：当，取相同数时，；
当，取不同数时，的取值可能为或，
故B中共有个元素．
故选：．
讨论，取相同数和不同数时，的取值即可得出答案．
本题考查集合的概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，
的虚部为．
故选：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为．
故选：．
将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
由此分析选项：
对于，，是偶函数，符合题意；
对于，，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于，，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于，，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数解析式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，首项为，
，，
，，
．
故选：．
设等差数列的公差为，首项为，再由，建立方程看求出与，最后代入通项公式即可求解．
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，等差数列的基本运算，方程思想，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是两个不重合的平面，，，，则不一定垂直于，故“”不是“”的充分条件；
，是两个不重合的平面，，，，则不一定垂直于，故“”不是“”的必要条件；
所以，故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据充要条件的定义，逐一判断即可．
本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：数对所有的可能的结果有：
，，，，，，，，，共个，
其中满足的数对有：，，，共个，
所有数对中满足的概率为．
故选：．
列举出数对所有可能的结果，并确定满足的数对的个数，根据古典概型公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
因为，所以，
因为在上有个极大值，
所以，
所以，
故选：．
先对函数化简，然后由，，所以再由在上有个极大值，可得，从而可求出的取值范围．
本题考查了利用函数的极值求参数的范围的问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：取，，，
则，，，选项错误．
函数是上的增函数，，选项正确．
若，则，选项错误．
故选：．
根据特值法，函数的单调性，不等式性质即可判断．
本题考查特值法，函数的单调性，不等式性质，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，导函数在上大于，可得在上单调递增，故A正确；
导函数有个零点，但当 时，原函数无极值，有个极值点，故B错误；
当时，，可得在上单调递减，故C正确，D错误．
故选：．
由导函数的图象结合导函数的符号与函数单调性的关系判断；由导函数的零点个数及零点两侧的导函数值的符号判断．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，所以又，，所以，解得，所以．
建立如图所示的直角坐标系：

设，，．
因为，所以，即圆心为，半径为的圆．
设，则点在直线上运动，则
令点到直线的距离为．
则无最大值．
故选：．
先由已知可求得，然后建立如图所示的直角坐标系，设，，再由得，设，则点在直线上运动，结合图形可得答案．
本题主要考查向量的运算法则，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在上恒成立，
等价于的图象恒在直线的上方，
画出的图象，如图，
又直线恒过点，
当直线与，相切时，设切点，
求导得，可得，
由，解得，
则切线的斜率为．
当直线与相切时，
直线与半圆相切，如图，
由，解得，
故的取值范围是．
故选：．
将恒成立转化成的图象恒在直线的上方，再数形结合即可求解．
本题考查考查数形结合法解恒成立问题，导数研究曲线的切线，直线与圆相切，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线为，
则，解得，
则该圆锥的高，
故该圆锥的体积为．
故答案为：．
设圆锥的底面半径为，母线为，则由题意可得，求出，，从而可求出高，进而可求出圆锥的体积．
本题考查了圆锥的体积计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
或，
当时，，即，
当，即时，，，，
答案为：．
运用三角函数二倍角及两角和的正弦公式变换求解．
本题考查了三角函数求值，三角变换中注意同解变换，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知可得：，
则样本中心点为，代入线性回归方程，可得，解得，
线性回归方程为，
取，可得．
故答案为：．
由已知可求样本中心，代入回归方程可得，取求解即可．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，可设，则，
，，
设，则，，，
将，坐标代入双曲线方程得：
，
整理可得：，，双曲线的离心率．
故答案为：．
设，利用向量线性运算可构造方程组得到，将，坐标代入双曲线方程，可求得，由此可得离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

17.【答案】解：由．
得，
，
，，
，，，
的面积为，，
，
由余弦定理可得，
，，
，
的周长为． 

【解析】由已知可得，可求，从而可求；
由面积公式可得，利用余弦公式可求，进而可求周长．
本题考查三角形的正余弦定理，以及三角恒等变换，属中档题．
 

18.【答案】解：由表中数据可得，班名学生体质测试成绩的平均分为：
，
班名同学有名同学体质测试成绩优秀，
则估计班学生体质测试成绩的优秀率为．
班体质测试成绩不合格有人，班体质测试成绩不合格有人，
所有可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：

． 

【解析】根据已知条件，结合平均数公式，以及频数与频数的关系，即可求解．
班体质测试成绩不合格有人，班体质测试成绩不合格有人，所有可能取值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：由解得
所以的公比，
故．
由可知，，设数列的前项和为，
则，，
所以，故． 

【解析】根据条件列出方程组，求出，的值，可得公比，代入通项公式求解即可；
利用错位相减法求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式以及错位相减求和的问题，属于中档题．
 

20.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，
又底面为菱形，所以，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：连接，
因为平面，，平面，
所以，，
因为四边形为菱形，，
所以为等边三角形，
因为为的中点，
所以，
因为，
所以，
所以，，两两垂直，
所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以，
则，
设平面的法向量，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】取的中点，连接，，则由三角形中位线定理可得，再结合底面四边形为菱形，可得四边形为平行四边形，从而得然后由线面平行的判定定理可证得结论，
由已知可得，，两两垂直，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可．
本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的求解，属于中档题．
 

21.【答案】解：当点为椭圆的上或下顶点时，的面积取得最大值，
此时有，解得，
故椭圆的方程为．

证明：由知，，，
设点，其中且，，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
所以，化简得，
所以，
所以点，
同理可得，点，
所以直线的斜率，
直线的方程为，
令，则，即点，
所以，，
故，为定值． 

【解析】当点为椭圆的上或下顶点时，的面积取得最大值，再结合椭圆的几何性质，求得的值，即可；
设点，其中且，写出直线和的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求得点和的坐标，再推出直线的方程，从而得点的坐标，然后由斜率公式，计算的值，即可．
本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，熟练掌握直线与椭圆方程联立解决问题的方法，椭圆的几何性质是解题的关键，计算量十分大，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：因为，所以．
若，则在上恒成立，故在上单调递增，不存在最小值．
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故，解得或舍去．
证明：因为，所以由可知，，，
令函数，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，即，
所以有两个不同的零点，．
不妨令，则．
由，解得，
则，
所以要证，即证，
即证．
令，令函数，
则，
所以在上单调递增，故，
所以，即． 

【解析】通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最小值即可推出结果．
通过推出，令函数，利用函数的导数判断函数的单调性，推出，有两个不同的零点，求解，然后利用分析法，结合构造函数，利用函数的导数转化求解即可．
本题考查函数导数的应用，构造法以及二次导函数的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．