2021-2022学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷(Word解析版)
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2021-2022学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
- 已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
- 已知命题:,,则( )
A. , B. ,
C. , D. ,
- 已知:,:,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 中国跳水队是中国体育奥运冠军团队.自年以来,中国跳水队已经男计为我国赢得了枚奥运金牌.在一次高台跳水比赛中,若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度单位:米与起跳后的时间单位:秒存在函数关系,则该运动员在起銚后秒时的瞬时速度为( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
- 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,则实数的值为( )
A. B. C. D.
- 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
- 设,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
- 若函数在区间上的最小值为,则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
- 已知是定义在上的奇函数,,则下列各式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
- 关于函数,下列说法正确的有( )
A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. 的最小值为
D. 对,,都有
- 设,为曲线的两条切线,切点分别为,,若,且垂足为,则下列说法正确的有( )
A. ,两点的横坐标之和为定值 B. ,两点的横坐标之积为定值
C. 直线的斜率为定值 D. 点横坐标的取值范围为
- 若函数为偶函数,为奇函数,且当时,,则( )
A. 为偶函数
B.
C.
D. 当时,
第II卷(非选择题)
三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
- 已知函数,若,则的值为______.
- 设函数满足:对任意实数都有,若在上恒成立,则实数的取值范围为______.
- 已知为方程的实数根,为方程的实数根,则的值为______.
- 若一圆锥的母线长为,则此圆锥体积的最大值为______.
四、解答题(本大题共6小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
- 设集合,.
若是的必要条件,求实数的取值范围;
若命题“,”为真命题,求实数的取值范围. - 已知函数.
求的单调区间;
讨论方程的解的个数. - 已知是上的奇函数.
求实数的值;
若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围. - 已知函数.
当时,求曲线在处的切线方程;
若恒成立,求实数的取值范围. - 如图所示,某小区有一个半径为米、圆心角为的扇形花圃,点,在弧上,且小区物业计划在弓形区域阴影部分种植观赏植物,域种植花卉,其余区域种植草皮.已知种植观赏植物的成本是每平方米元,种植花卉的成本是每平方米元,种植草皮的成本是每平方米元.记,.
用表示弓形的面积;
求种植总费用的最小值及相应的值.
- 已知函数.
讨论函数极值点的个数;
若函数在定义域内有两个不同的零点,,求的取值范围;证明:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:集合,或,
,
则.
故选:.
求出集合,进而求出,由此能求出.
本题考查集合的运算,考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】
【解析】解:命题“,”是全称命题,否定时将量词对任意的变为,再将不等号变为即可.
故选:.
命题“,”是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等号的变化.
本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属基本知识的考查.注意在写命题的否定时量词的变化,属基础题.
3.【答案】
【解析】解::,,,
:,,
,,
是的必要不充分条件,
故选:.
解指数不等式得到,求出幂函数的值域得到,再利用充要条件的定义判定即可.
本题考查了指数不等式的解法,幂函数值域的求法,充要条件的判定,属于中档题.
4.【答案】
【解析】解:,
,
,
则该运动员在起銚后秒时的瞬时速度为米秒,
故选:.
利用导数的四则运算求出,再利用导数的物理意义求解.
本题主要考查了导数的四则运算和物理意义,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:的导数,
曲线在处切线斜率,
则曲线在处切线方程为,即,
由于切线与曲线只有一个公共点,
联立,得,
即解得.
故选:.
先求出导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由切线与曲线只有一个公共点,进而联立得到的值.
本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查运算求解能力,属于中档题.
6.【答案】
【解析】解:由得,
则,
即是奇函数,图象关于原点对称,排除,,
当,,,即,排除,
故选:.
求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,利用极限思想进行排除即可.
本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的奇偶性以及极限思想,利用排除法是解决本题的关键.
7.【答案】
【解析】解:,,
,
设,则,
单调递减,
,
,即,,
,
故选:.
由,得到,再构造函数,并判断单调性,得到即可.
本题考查对数的运算法则,构造函数的应用,属于中档题.
8.【答案】
【解析】解:由,得,
当时,在上恒成立,
所以在上递增,
所以,解得舍去,
当时,由,得或,
当时,在上恒成立,
所以在上递增,
所以,解得舍去,
当时,当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,
所以当时,取得最小值,所以,解得舍去,
当时,当时,,所以在上递减,
所以,解得,
综上,,
故选:.
对函数求导后,分和两种情况求出函数的单调区间,从而可求出函数的最小值,使最小值等于零,从而可出实数的值.
本题考查利用导数研究函数的最值,考查学生的运算能力,属于中档题.
9.【答案】
【解析】解:根据题意,依次分析选项:
对于,因为是定义在上的奇函数,所以,A正确;
对于,不能确定与即与的大小关系,B错误;
对于,又,为奇函数,则有,即,C正确;
对于,无法比较,及,的大小关系.
故选:.
根据题意,由奇函数的性质依次分析选项,即可得答案.
本题考查函数奇偶性的性质以及应用,注意的值,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:根据题意,函数,
对于,的定义域为,有,则函数为偶函数,A错误,B正确;
对于,设,则,
在上,,则在上为增函数,而在上也是增函数,
则在上是增函数,
又由为偶函数,则,的最小值为,C正确;
对于,当,时,,
,
因为,
所以,
此时,故D错误,
故选:.
整理函数解析式可得,则由定义可检验选项AB;结合导数与单调性关系及复合函数单调性可检验选项C,举反例可判断选项D.
本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的分析,注意函数解析式的变形,属于中档题.
11.【答案】
【解析】解:,记,,
不妨设与相切于点,与相切于点,
又,则,
又,则,选项B正确;
直线的方程为,直线的方程为,
联立可得,,
又,则,则,选项D正确,同时易知选项A错误;
又,则选项C正确;
故选:.
设,,与相切于点,与相切于点,利用导数的几何意义可得,再结合,可判断选项B;联立直线,的方程,结合基本不等式可判断选项D,进一步可判断选项A;求出直线的斜率,结合,可判断选项C.
本题主要考查导数的几何意义,考同时也涉及了基本不等式的运用,考查运算求解能力,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:若函数为偶函数,可得,
即为,即,
又为奇函数,可得,
即有,
所以,
即有,
可得,即为偶函数,故A正确;
当时,,
由,可得的最小正周期为,
,故B错误;
,故C正确;
当时,,,
而,
则,,故D正确.
故选:.
由函数的奇偶性的定义,推得,可得的奇偶性和周期性,结合已知区间上的函数解析式,计算可得结论.
本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用,考查转化思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
13.【答案】或
【解析】解:当,即时,由,得,,所以,得;
当,即时,,,解得,
综上或,
故答案为:或.
根据分段函数,分和两种情况求解即可.
本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题.
14.【答案】
【解析】解:令,则,得,
令,则,得,
所以,
对称轴为,
所以当时,取得最小值,
所以的最小值为,
所以,即实数的取值范围为
故答案为:.
分别令和,可求出,,从而可求得的解析式,然后求出在上的最小值即可.
本题考查利用赋值法求函数解析式,以及不等式的恒成立问题,考查转化思想及运算求解能力,属于中档题.
15.【答案】
【解析】解:令,方程化为:,依题意,是方程的实数根,
令函数,,
函数的图象上任意一点,它关于点对称点为,
有,,,
即点在函数的图象上,
同理,函数图象上任意点关于点对称点也在函数图象上,
于是得函数的图象与函数的图象关于点对称,
函数,函数在各自的定义域上都是增函数,每个函数只有一个零点,
所以函数的零点与函数的零点关于点对称,.
故答案为:.
通过换元将方程变形,再构造函数,探讨函数性质即可计算作答.
本题考查了函数的零点与方程根的关系,属于中档题.
16.【答案】
【解析】解:设圆锥的高为,,则底面圆的半径为,
故圆锥体积,
令,
则,
当时,,当时,,
所以函数在上递增,在上递减,
所以,
即此圆锥体积的最大值为.
故答案为:.
设圆锥的高为,根据圆锥的体积公式将体积用表示,再利用导数求出函数的最大值即可得解.
本题考查圆锥的结构特征、圆锥体积、圆锥母线长等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
17.【答案】解:由得,,即,
所以,
因为是的必要条件,所以,
所以,则,
综上,的取值范围为;
由题意知,,
因为或,
所以或者,
故或,
实数的取值范围为.
【解析】根据是的必要条件可得,可得出,然后解出的范围即可;
根据,可以得出,从而可得出的取值范围.
本题考查了充要条件、子集的定义,交集、补集运算,考查了计算能力,属于基础题.
18.【答案】解:,
令得,或,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的单调递增区间为,,单调递减区间为.
由知,的单调递增区间为,,单调递减区间为,
当时,有极大值,
当时,有极小值,
当,;当,,
所以当或,的解有个,
当或,的解有个,
当,的解有个.
【解析】求导得,分析的单调性.
由知,的单调性,计算,,又当,,当,,即可得出答案.
本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
19.【答案】解:由是上的奇函数,
可得,即,
化为,
所以,解得;
,
关于的不等式在上有解,
即为,
因为时,,可得,
可令,,
因为在上单调递增,且当时,,
所以要使在上有解,只需要.
即的取值范围是.
【解析】由奇函数的定义和恒等式的性质,解方程可得所求值;
由指数函数的值域和单调性,可得,,,判断的单调性,求得的范围,可得的范围.
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用,以及不等式有解的条件,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
20.【答案】解:当时,,,
,.
所以曲线在处的切线方程为,
即.
由已知得,在上恒成立,
即在上恒成立.
令,,
则,
令,则,
所以在上单调递增,
又因为,,
所以,使得,
当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
所以,
由得,,
所以,
故,即的取值范围为.
【解析】先对函数求导,根据导数的几何意义求出切线斜率,进而可求切线方程;
由已知不等式先分离常数结合不等式构造函数,转化为求解新函数的最值,结合导数及函数性质可求.
本题主要考查了导数的几何意义的应用,还考查了不等式恒成立求解参数范围,体现了转化思想的应用,属于中档题.
21.【答案】解:,,
设种植总费用为元,
由题意得,,
令,
则,
令得,,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
当时,取得最小值,此时取得最小值,,
故当的值为时,总种植费用取最小值元.
【解析】先表达出扇形和三角形的面积,进而表达出弓形的面积.
设种植总费用为元,,令,利用导数可得当时,取得最小值,此时取得最小值.
本题主要考查函数的实际应用,考查了利用导数研究函数的最值,属于中档题.
22.【答案】解:的定义域为,
当时,,在上单调递减,无极值点;
当时,令,得.时,,在
上单调递减;时,,在上单调递增,
故时,取得极小值.
综上,当时,无极值点;当时,有一个极小值点.
由题意,方程在有两个不等实根,
即在有两个不等实根,设,,过点,
则,令得,,时,,单调递增,时,,单调递减,
且时,;时,,时,,故实数的取值范围为.
不妨设,由已知得,,,
两式相减得,,
要证,只需证,只需证,
只需证,即证.
令,上述不等式变形为,
令,,
则,,
所以在上单调递减,又,所以恒成立,
所以在上单调递增,又因为,故,
即,原不等式得证.
【解析】求出函数的导函数,再对分和两种情况讨论,分别得到函数的单调性,即可求出函数的极值点;
依题意参变分离可得在有两个不等实根,设,利用导数得到函数的单调性,求出函数的极大值,再根据函数值的取值情况,求出的取值范围;
不妨设,则,依题意即证,令,构造函数,利用导数说明函数的单调性,即可证明.
本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的运算能力,属于难题.
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