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    2021-2022学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷(Word解析版)

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    这是一份2021-2022学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷(Word解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    绝密启用前

    2021-2022学年山东省烟台市高二(下)期末数学试卷

     

     

    I卷(选择题)

     

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1. 已知集合,则(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 已知命题,则(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 已知,则(    )

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

    1. 中国跳水队是中国体育奥运冠军团队.自年以来,中国跳水队已经男计为我国赢得了枚奥运金牌.在一次高台跳水比赛中,若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度单位:米与起跳后的时间单位:秒存在函数关系,则该运动员在起銚后秒时的瞬时速度为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点,则实数的值为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 函数的图象大致为(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. ,则的大小关系为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 若函数在区间上的最小值为,则实数的值为(    )

    A.  B.  C.  D.

     

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

    1. 已知是定义在上的奇函数,,则下列各式一定成立的是(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1. 关于函数,下列说法正确的有(    )

    A. 为奇函数
    B. 为偶函数
    C. 的最小值为
    D. ,都有

    1. 为曲线的两条切线,切点分别为,若,且垂足为,则下列说法正确的有(    )

    A. 两点的横坐标之和为定值 B. 两点的横坐标之积为定值
    C. 直线的斜率为定值 D. 点横坐标的取值范围为

    1. 若函数为偶函数,为奇函数,且当时,,则(    )

    A. 为偶函数
    B.
    C.
    D. 时,

    II卷(非选择题)

     

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    1. 已知函数,若,则的值为______
    2. 设函数满足:对任意实数都有,若上恒成立,则实数的取值范围为______
    3. 已知为方程的实数根,为方程的实数根,则的值为______
    4. 若一圆锥的母线长为,则此圆锥体积的最大值为______

     

    四、解答题(本大题共6小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    1. 设集合
      的必要条件,求实数的取值范围;
      若命题为真命题,求实数的取值范围.
    2. 已知函数
      的单调区间;
      讨论方程的解的个数.
    3. 已知上的奇函数.
      求实数的值;
      若关于的不等式上有解,求实数的取值范围.
    4. 已知函数
      时,求曲线处的切线方程;
      恒成立,求实数的取值范围.
    5. 如图所示,某小区有一个半径为米、圆心角为的扇形花圃,点在弧上,且小区物业计划在弓形区域阴影部分种植观赏植物,域种植花卉,其余区域种植草皮.已知种植观赏植物的成本是每平方米元,种植花卉的成本是每平方米元,种植草皮的成本是每平方米元.记
      表示弓形的面积;
      求种植总费用的最小值及相应的值.


    1. 已知函数
      讨论函数极值点的个数;
      若函数在定义域内有两个不同的零点的取值范围;证明:

    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】解:集合


    故选:
    求出集合,进而求出,由此能求出
    本题考查集合的运算,考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
     

    2.【答案】 

    【解析】解:命题是全称命题,否定时将量词对任意的变为,再将不等号变为即可.
    故选:
    命题是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等号的变化.
    本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属基本知识的考查.注意在写命题的否定时量词的变化,属基础题.
     

    3.【答案】 

    【解析】解:


    的必要不充分条件,
    故选:
    解指数不等式得到,求出幂函数的值域得到,再利用充要条件的定义判定即可.
    本题考查了指数不等式的解法,幂函数值域的求法,充要条件的判定,属于中档题.
     

    4.【答案】 

    【解析】解:


    则该运动员在起銚后秒时的瞬时速度为秒,
    故选:
    利用导数的四则运算求出,再利用导数的物理意义求解.
    本题主要考查了导数的四则运算和物理意义,属于基础题.
     

    5.【答案】 

    【解析】解:的导数
    曲线处切线斜率
    则曲线处切线方程为,即
    由于切线与曲线只有一个公共点,
    联立,得
    解得
    故选:
    先求出导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由切线与曲线只有一个公共点,进而联立得到的值.
    本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查运算求解能力,属于中档题.
     

    6.【答案】 

    【解析】解:由

    是奇函数,图象关于原点对称,排除
    ,即,排除
    故选:
    求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,利用极限思想进行排除即可.
    本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的奇偶性以及极限思想,利用排除法是解决本题的关键.
     

    7.【答案】 

    【解析】解:

    ,则
    单调递减,

    ,即

    故选:
    ,得到,再构造函数,并判断单调性,得到即可.
    本题考查对数的运算法则,构造函数的应用,属于中档题.
     

    8.【答案】 

    【解析】解:由,得
    时,上恒成立,
    所以上递增,
    所以,解得舍去
    时,由,得
    时,上恒成立,
    所以上递增,
    所以,解得舍去
    时,当时,,当时,
    所以上递减,在上递增,
    所以当时,取得最小值,所以,解得舍去
    时,当时,,所以上递减,
    所以,解得
    综上,
    故选:
    对函数求导后,分两种情况求出函数的单调区间,从而可求出函数的最小值,使最小值等于零,从而可出实数的值.
    本题考查利用导数研究函数的最值,考查学生的运算能力,属于中档题.
     

    9.【答案】 

    【解析】解:根据题意,依次分析选项:
    对于,因为是定义在上的奇函数,所以A正确;
    对于,不能确定的大小关系,B错误;
    对于,又为奇函数,则有,即C正确;
    对于,无法比较的大小关系.
    故选:
    根据题意,由奇函数的性质依次分析选项,即可得答案.
    本题考查函数奇偶性的性质以及应用,注意的值,属于基础题.
     

    10.【答案】 

    【解析】解:根据题意,函数
    对于的定义域为,有,则函数为偶函数,A错误,B正确;
    对于,设,则
    上,,则上为增函数,而上也是增函数,
    上是增函数,
    又由为偶函数,则的最小值为C正确;
    对于,当时,

    因为
    所以
    此时,故D错误,
    故选:
    整理函数解析式可得,则由定义可检验选项AB;结合导数与单调性关系及复合函数单调性可检验选项C,举反例可判断选项D
    本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的分析,注意函数解析式的变形,属于中档题.
     

    11.【答案】 

    【解析】解:,记
    不妨设相切于点相切于点
    ,则
    ,则,选项B正确;
    直线的方程为,直线的方程为
    联立可得,
    ,则,则,选项D正确,同时易知选项A错误;
    ,则选项C正确;
    故选:
    相切于点相切于点,利用导数的几何意义可得,再结合,可判断选项B;联立直线的方程,结合基本不等式可判断选项D,进一步可判断选项A;求出直线的斜率,结合,可判断选项C
    本题主要考查导数的几何意义,考同时也涉及了基本不等式的运用,考查运算求解能力,属于中档题.
     

    12.【答案】 

    【解析】解:若函数为偶函数,可得
    即为,即
    为奇函数,可得
    即有
    所以
    即有
    可得,即为偶函数,故A正确;
    时,
    ,可得的最小正周期为
    ,故B错误;
    ,故C正确;
    时,

    ,故D正确.
    故选:
    由函数的奇偶性的定义,推得,可得的奇偶性和周期性,结合已知区间上的函数解析式,计算可得结论.
    本题考查函数的奇偶性和周期性的判断和运用,考查转化思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
     

    13.【答案】 

    【解析】解:当,即时,由,得,所以,得
    ,即时,,解得
    综上
    故答案为:
    根据分段函数,分两种情况求解即可.
    本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题.
     

    14.【答案】 

    【解析】解:令,则,得
    ,则,得
    所以
    对称轴为
    所以当时,取得最小值,
    所以的最小值为
    所以,即实数的取值范围为
    故答案为:
    分别令,可求出,从而可求得的解析式,然后求出上的最小值即可.
    本题考查利用赋值法求函数解析式,以及不等式的恒成立问题,考查转化思想及运算求解能力,属于中档题.
     

    15.【答案】 

    【解析】解:令,方程化为:,依题意,是方程的实数根,
    令函数
    函数的图象上任意一点,它关于点对称点为

    即点在函数的图象上,
    同理,函数图象上任意点关于点对称点也在函数图象上,
    于是得函数的图象与函数的图象关于点对称,
    函数,函数在各自的定义域上都是增函数,每个函数只有一个零点,
    所以函数的零点与函数的零点关于点对称,
    故答案为:
    通过换元将方程变形,再构造函数,探讨函数性质即可计算作答.
    本题考查了函数的零点与方程根的关系,属于中档题.
     

    16.【答案】 

    【解析】解:设圆锥的高为,则底面圆的半径为
    故圆锥体积


    时,,当时,
    所以函数上递增,在上递减,
    所以
    即此圆锥体积的最大值为
    故答案为:
    设圆锥的高为,根据圆锥的体积公式将体积用表示,再利用导数求出函数的最大值即可得解.
    本题考查圆锥的结构特征、圆锥体积、圆锥母线长等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
     

    17.【答案】解:得,,即
    所以
    因为的必要条件,所以
    所以,则
    综上,的取值范围为
    由题意知,
    因为
    所以或者

    实数的取值范围为 

    【解析】根据的必要条件可得,可得出,然后解出的范围即可;
    根据可以得出,从而可得出的取值范围.
    本题考查了充要条件、子集的定义,交集、补集运算,考查了计算能力,属于基础题.
     

    18.【答案】解:
    得,
    所以当时,单调递增,
    时,单调递减,
    时,单调递增,
    所以的单调递增区间为,单调递减区间为
    知,的单调递增区间为,单调递减区间为
    时,有极大值
    时,有极小值
    ;当

    所以当的解有个,
    的解有个,
    的解有个. 

    【解析】求导得,分析的单调性.
    知,的单调性,计算,又当,当,即可得出答案.
    本题考查导数的综合应用,解题中需要理清思路,属于中档题.
     

    19.【答案】解:上的奇函数,
    可得,即
    化为
    所以,解得

    关于的不等式上有解,
    即为
    因为时,,可得
    可令
    因为上单调递增,且当时,
    所以要使上有解,只需要
    的取值范围是 

    【解析】由奇函数的定义和恒等式的性质,解方程可得所求值
    由指数函数的值域和单调性,可得,判断的单调性,求得的范围,可得的范围.
    本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用,以及不等式有解的条件,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
     

    20.【答案】解:时,

    所以曲线处的切线方程为

    由已知得,上恒成立,
    上恒成立.


    ,则
    所以上单调递增
    又因为
    所以,使得
    时,单调递增,
    时,单调递减,
    所以
    得,
    所以
    ,即的取值范围为 

    【解析】先对函数求导,根据导数的几何意义求出切线斜率,进而可求切线方程;
    由已知不等式先分离常数结合不等式构造函数,转化为求解新函数的最值,结合导数及函数性质可求.
    本题主要考查了导数的几何意义的应用,还考查了不等式恒成立求解参数范围,体现了转化思想的应用,属于中档题.
     

    21.【答案】解:

    设种植总费用为元,
    由题意得,


    得,
    时,单调递减;当时,单调递增,
    时,取得最小值,此时取得最小值,
    故当的值为时,总种植费用取最小值元. 

    【解析】先表达出扇形和三角形的面积,进而表达出弓形的面积.
    设种植总费用为元,,令,利用导数可得当时,取得最小值,此时取得最小值.
    本题主要考查函数的实际应用,考查了利用导数研究函数的最值,属于中档题.
     

    22.【答案】解:的定义域为
    时,上单调递减,无极值点;
    时,令,得时,
    上单调递减;时,上单调递增,
    时,取得极小值.
    综上,当时,无极值点;当时,有一个极小值点.
    由题意,方程有两个不等实根,
    有两个不等实根,设,过点
    ,令得,时,单调递增,时,单调递减,
    时,时,时,,故实数的取值范围为
    不妨设,由已知得,
    两式相减得,
    要证,只需证,只需证
    只需证,即证
    ,上述不等式变形为


    所以上单调递减,又,所以恒成立,
    所以上单调递增,又因为,故
    ,原不等式得证. 

    【解析】求出函数的导函数,再对两种情况讨论,分别得到函数的单调性,即可求出函数的极值点;
    依题意参变分离可得有两个不等实根,设,利用导数得到函数的单调性,求出函数的极大值,再根据函数值的取值情况,求出的取值范围;
    不妨设,则,依题意即证,令,构造函数,利用导数说明函数的单调性,即可证明.
    本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的运算能力,属于难题.
     

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