人教版 (五四制)九年级上册第31章 圆31.2 点和圆、直线和圆的位置关系获奖课件ppt

圆和圆的位置关系

一、教学目标

（一）学习目标

1.探索并了解圆和圆的位置关系．

2.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系．

3.能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题．

（二）学习重点

1.探索并了解圆和圆的位置关系．

（三）学习难点

1.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种，本别是：外离、外切、相交、内切、内含.

（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距.

（3）设两圆的圆心距为，半径为，则：

①当两圆外离时：有 0个 公共点 ，圆心距d与两圆半径满足数量关系

②当两圆外切时：有唯一公共点，圆心距d与两圆半径满足数量关系

③当两圆相交时：有两个公共点，圆心距d与两圆半径满足数量关系

④当两圆内切时：有唯一公共点，圆心距d与两圆半径满足数量关系

⑤当两圆内含时：有 0个 公共点，圆心距d与两圆半径满足数量关系

2.预习自测

（1）同一平面内，两个圆的位置可分为：　　、　　、　　、　　、　　这五类．

【知识点】圆与圆的位置关系

【解题过程】外离、外切、相交、内切、内含.

【思路点拨】理解、掌握圆的五种位置关系

【答案】外离、外切、相交、内切、内含.

（2）如图：奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的　　和　　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】根据圆与圆的位置的关系的定义，得出奥运五环标志里，包含了圆与圆的位置关系中的外离和相交．

【思路点拨】理解、掌握圆的五种位置关系

【答案】外离，相交．

（3）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（    ）

A．外离      B．相切      C．相交      D．内含

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】圆心距等于两圆的半径之和，所以两圆相切.

【思路点拨】熟悉圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系.

【答案】B

（4）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为（）

A. 外切     B. 内切     C. 外离     D. 相交

【知识点】圆与圆的位置关系.

【数学思想】数形结合

【解题过程】∵2+4=6＜7，两圆半径之和小于圆心距，

∴两圆外离.选C.

【思路点拨】两圆相离时，两圆圆心距离大于两圆半径之和.

【答案】C

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）点和圆的位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

（2）直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.

2.问题探究

探究一 从旧知识过渡到新知识

●活动①  回顾旧知，点和圆的位置关系

抢答：

老师问：点和圆有几种位置关系？如何识别点与圆的位置关系？

学生答：3种

老师问：如何识别点与圆的三种位置关系？

学生答：若圆的半径为r，点到圆心的距离为d：

点在圆内d<r          

点在圆上d=r          

点在圆外d>r

【设计意图】通过回忆学过的知识，引导学生用类比的思想来学习新的知识；

激发学生的求知欲望.

●活动②回顾旧知，直线和圆的位置关系

抢答：

老师问：直线和圆有几种位置关系？

学生答：3种

老师问：如何识别直线与圆的三种位置关系？

学生答：若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d：

直线与圆相交d<r

直线与圆相切d=r

直线与圆相离d>r

【设计意图】通过回忆学过的知识，引导学生用类比的思想来学习新的知识；

激发学生的求知欲望.

探究二 圆与圆的位置关系.★▲

●活动①大胆操作，探究新知

在一张透明纸上作一个⊙O1．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不相等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

老师问：⊙O1与⊙O2有几种位置关系?

学生答：5种

老师问：大家能画出这五种位置关系的示意图吗？

老师用多媒体演示两圆位置关系动画并与学生的发现进行对比，让学生初步

认识圆与圆的五种位置关系.

老师问：从公共点的个数和一个圆在另一个圆的内部和外部来考虑，谁能说出五种位置关系各有什么特征吗？

学生答：外离：没有公共点

      外切：有唯一的公共点

相交：有两个公共点

内切：有唯一的公共点

内含：没有公共点

老师：如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．  

如果只从公共点的个数来考虑分为三种关系：

【设计意图】数形结合的思想，让学生从图形和交点个数上认识圆与圆的位置关系.

●活动②集思广益，探究从数量关系上判断圆与圆的位置关系.★▲

老师问：在同一个平面内，设两个不等的圆圆心的距离即圆心距.两圆的半径分别为r，R()，则当圆心距与两圆半径满足什么关系时，两圆的位置外离？外切？相交？内切？内含？（分小组让学生互相交流、探讨，发现问题，解决问题并归纳总结）

学生答：两圆外离

两圆外切

两圆相交

两圆内切

两圆内含

【设计意图】数形结合的思想，让学生从圆心距与两圆半径的数量关系上认识圆与圆的位置关系.

知识点归纳

1、圆与圆的五种位置关系：在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.

2、设两圆的圆心距为，半径分别为r、R（），则有：

（1）外离：没有公共点 ，两圆外离  如图①           

（2）外切：有唯一的公共点，两圆外切  如图②

（3）相交：有两个公共点，两圆相交  如图③

（4）内切：有唯一的公共点，两圆内切  如图④

（5）内含：没有公共点，两圆内含  如图⑤

探究三 圆与圆位置关系的应用

活动①  基础型例题

例1．已知两圆半径分别为6，2，圆心距为4，则这两圆的位置关系为（   ）

A.外离      B.内切      C.相交      D.内含

【知识点】两圆的位置关系.

【数学思想】数形结合

【解题过程】两半径之差6－2等于两圆圆心距4，所以两圆内切.故选B.

【思路点拨】根据两圆位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）

【答案】B

练习题：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（   ）

A．外切     B．相交     C．内切     D．内含     

【知识点】两圆的位置关系.

【数学思想】数形结合

【解题过程】 ∵3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，

∴两圆外切.故选A.

【思路点拨】根据两圆的位置关系的判定：外切时两圆圆心距离等于两圆半径之和求解

【答案】A

【设计意图】根据两圆圆心距与两圆半径间的数量关系判定圆的位置关系.

例2．已知两圆相交，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值范围是　      　．

【知识点】圆与圆位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵两圆半径分别为6、3，

6﹣3=3，3+6=9，

∵两圆相交，

∴3＜d＜9．

【思路点拨】两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间.

【答案】3＜d＜9

练习：若⊙O1与⊙O2内含，且它们的半径分别为6和3，则圆心距d的取值范围是　   　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【解题过程】解：当两圆内含时d＜6﹣3=3

∴d＜3．

【思路点拨】掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键.

【答案】d＜3

【设计意图】根据圆的位置关系确定两圆圆心距与两圆半径间的数量关系.

活动② 提升型例题

例3：如图：已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.

【知识点】圆与圆的位置关系.  一元一次方程

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：设⊙A半径长为x厘米

∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米

∴⊙B半径长为(3-x)厘米

⊙C半径长为(6-x)厘米

根据题意BC=（3-x)+(6-x)=5

∴x=2

∴⊙B半径长为3-2=1厘米

⊙C半径长为6-2=4厘米

∴⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米.

【思路点拨】利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可.

【答案】⊙A、⊙B、⊙C的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米.

练习题：如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作，以B为圆心，4为半径作. 求证：与相外切.

【知识点】相切两圆的性质

【数学思想】数形结合

【解题过程】

证明：如图连接OB；

∵AC为⊙O的直径，

∴OC=6；

由勾股定理得：OB2=OC2+BC2，而BC=8，

∴OB=10；

而⊙O与⊙B的半径之和=6+4=10，

∴⊙O与⊙B外切．

【思路点拨】两圆位置关系的判定及其应用

【设计意图】外切圆性质的运用

活动③ 探究型例题

例4：已知⊙O1、⊙O2的半径长分别为2、5，如果⊙O1与⊙O2相交，那么这两圆的圆心距d的取值范围是　    　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：①如图：

当两圆内切时d=5-2=3；

②如图：

当两圆外切时d=5+2=7

所以要满足两圆相交则d的范围为：3＜d＜7

【思路点拨】两圆外切和内切分别是d的两个极值，画出示意图即可得出d的范围．

【答案】3＜d＜7．

练习题：已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3、2，且⊙O1上的点都在⊙O2的外部，那么圆心距d的取值范围是　　．

【知识点】圆与圆的位置关系．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵⊙O1上的点都在⊙O2的外部，

∴它们的位置关系是外离或内含，

∴它们的圆心距d的取值范围是d＞5或0≤d＜1，

【思路点拨】两圆相离包括即外离或内含两种情况，本题根据两圆位置关系来判断数量关系．

【答案】d＞5或0≤d＜1．

【设计意图】两圆位置关系的灵活运用

3. 课堂总结

知识梳理：

1. 圆与圆的五种位置关系：在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.

2、设两圆的圆心距为，半径分别为为r、R（），则有：

（1）外离：没有公共点 ，两圆外离  如图①           

（2）外切：有唯一的公共点，两圆外切  如图②

（3）相交：有两个公共点，两圆相交  如图③

（4）内切：有唯一的公共点，两圆内切  如图④

（5）内含：没有公共点，两圆内含  如图⑤

重难点归纳

1、同一个平面内，圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.其中只按公共点个数分类时要注意：没有公共点即圆与圆相离有两种情况：外离和内含；有且仅有一个公共点即圆与圆相切有两种情况：内切和外切；

2、圆与圆位置关系的判定方法：

①根据公共点个数进行判断.

②根据圆心距与两圆半径的数量关系进行判断.

（三）课后作业

基础型  自主突破

1、同一平面内，当两个圆有两个交点时，两个圆的位置关系是　　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵两个圆有两个交点

∴两个圆相交

【思路点拨】根据交点个数判断圆与圆的位置关系.

【答案】相交

2、同一平面内，当两个圆有且仅有一个交点时，两个圆的位置关系是　  　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵两个圆有且仅有一个交点

∴两个圆相切即：外切或内切

【思路点拨】根据交点个数判断圆与圆的位置关系.

【答案】外切或内切

3、如图，圆与圆的位置关系没有（　　）

A．相交 B．相切 C．内含 D．外离

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】图中两圆有的位置关系是：外切，内切，内含、外离．所以两圆没有的位置关系是相交.

【思路点拨】圆与圆的位置关系的识别

【答案】A

4、已知相切两圆的半径分别为5cm和4cm，这两个圆的圆心距是　　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合、分类讨论

【思路点拨】两圆相切，包括两圆内切或两圆外切．两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和；两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差．

【解题过程】解：∵两圆相切分为内切或外切；

∴当两圆内切时d=1cm；

当两圆外切时d=9cm．

圆心距是1cm或9cm．

【答案】1cm或9cm

5、若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是（     ）

A.外离     B.外切     C.相交     D.内切

【知识点】圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程

【数学思想】

【解题过程】解∵x2﹣5x+6=0，

∴,

x1=2或x2=3.

∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6=0的两根，

∴两圆的半径分别是2、3.

∵圆心距是5=2+3

∴两圆外切.

故选B.

【答案】B

6、若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是（     ）

A.内切     B.外切     C.相交     D.外离

【知识点】

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵r1＋r2=6，r2－r1=2，d=5，

∴r2－r1＜d ＜r1＋r2.

∴这两个圆的位置关系是相交.

故选C.

【思路点拨】根据两圆的位置关系的判定：相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差时，两圆相交

【答案】C

能力型 师生共研

7、已知⊙O1、⊙O2的半径长分别为2、5，如果⊙O1与⊙O2相交，那么这两圆的圆心距d的取值范围是　       　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】

解：

①如图：

当两圆内切时d=5-2=3；

②如图：

当两圆外切时d=5+2=7

所以要满足两圆相交则d的范围为：3＜d＜7

【思路点拨】两圆外切和内切分别是d的两个极值，画出示意图即可得出d的范围．

【答案】3＜d＜7．

8、已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3、2，且⊙O1上的点都在⊙O2的外部，那么圆心距d的取值范围是　　．

【知识点】圆与圆的位置关系．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵⊙O1上的点都在⊙O2的外部，

∴它们的位置关系是外离或内含，

∴它们的圆心距d的取值范围是d＞5或0≤d＜1，

【思路点拨】两圆相离包括即外离或内含两种情况，本题根据两圆位置关系来判断数量关系．

【答案】d＞5或0≤d＜1．

探究型 多维突破

9、如图，⊙O从直线AB上的点A（圆心O与点A重合）出发，沿直线AB以1厘米/秒的速度向右运动（圆心O始终在直线AB上）．已知线段AB=6，⊙O，⊙B的半径分别为1和2．当两圆相交时，⊙O的运动时间t（秒）的取值范围是　　．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合、分类讨论

【思路点拨】考虑点A在点B的左侧或右侧两种情况．利用相交时两圆半径和圆心距之间的数量关系列不等式求解．

【解题过程】解：∵两圆相交

∴则圆心距1＜AB＜3，

①点A在点B左侧时，AB=6﹣t，即1＜6﹣t＜3，

∴3＜t＜5；

②点A在点B右侧时，AB=t﹣6，即1＜t﹣6＜3

∴7＜t＜9．

∴综上所述3＜t＜5或7＜t＜9．

【答案】3＜t＜5或7＜t＜9．

10、半径分别为5和3的两圆相交，测得公共弦长为6，求两圆的圆心距是多少？

【知识点】圆与圆位置关系 中垂线性质 勾股定理

【数学思想】分类讨论

【解题过程】解：

（1）如图：当两圆圆心在公共弦同侧,AC=5，BC=3，CD=6，

连接AB，AC，AD，BC，BD 

∵AC=AD  BC=BD 

∴AB垂直平分CD.

在Rt△ACE中，AC=5,CE=CD=3,

∴AE+CE=AC，

∴AE==4,

在Rt△BCE中，BC=3，

∴BE==3，

∴AB=AE-BE=1

（2）如图当两圆圆心在公共弦异侧时，AC=5，BC=3，CD=6，

连接AB，AC，AD，BC，BD 

∵AC=AD  BC=BD 

∴AB垂直平分CD.

在Rt△ACE中，AC=5，CE=3，

∴AE==4，

在Rt△BCE中，BC=3，

∴BE==3，

∴AB=AE+BE=4+3=7

∴圆心距为7或1.

【思路点拨】两圆相交，分为两圆心在公共弦同侧和异侧两种情况分类解答.

【答案】7或1

自助餐

1.已知相内含的两圆半径为6和2，则两圆的圆心距是（    ）

A.d＜4   B.d＞4     C.d=4    D.d＞2

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：由题意知，两圆内含，

则d＜6﹣2，

d＜4，故选A

【思路点拨】根据数量关系判断两圆位置关系

【答案】A

2.如图，圆与圆之间不同的位置关系有（    ）

A.2种      B.3种    C.4种     D.5种

【知识点】圆与圆的位置关系．

【数学思想】数形结合 分类讨论

【解题过程】解：图形中有：内含、外切、内切、外离4种．

故选C

【思路点拨】熟悉两圆的位置关系的定义

【答案】C　

3.圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径　　．

【知识点】两圆的位置关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵两圆相切

∴①当两圆外切时：1＋1＝2另一个圆的半径为1

②当两圆内切时：3－1＝2另一个圆的半径为3

【思路点拨】两圆的位置关系的判定

【答案】1或3

4.两圆半径分别为R和r，两圆的圆心距为d，以R、r、d为长度的三条线段首尾相接可以围成一个三角形，则两圆的位置关系为        .

【知识点】圆与圆的位置关系、三角形三边关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：由题意可得，R+r＞d，R-r＜d

∴两圆的位置关系是相交

【思路点拨】由数量关系来判断两圆位置关系，R﹣r＜d＜R+r时两圆相交

【答案】相交

5.已知半径3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都相切的圆共有__　　个．

【知识点】圆与圆的位置关系

【数学思想】数形结合；分类讨论

【解题过程】解：如图与两圆相切的有4个圆.

【思路点拨】两圆相切有内切和外切两种情况.

【答案】4

6. 如图：平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，⊙P的半径长为2，⊙P的圆心点P坐标为（m，0），把⊙P向左平移，求当⊙P与⊙O相切时m的值.

【知识点】两圆的位置关系，平移的性质.

【数学思想】数形结合、分类讨论

【解题过程】解：

⊙P与⊙O相切时，有内切和外切两种情况：

∵⊙O 的圆心在原点，当⊙P与⊙O外切时，圆心距为1+2=3，

当⊙P与⊙O内切时，圆心距为2-1=1，

当⊙P与⊙O第一次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的正半轴上，

∴点P坐标为（3,0）或（1,0）.∴m=3或1.

当⊙P与⊙O第二次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的负半轴上，

∴点P坐标为（-3,0）或（-1,0）.∴m=-3或-1 .故选D.

【思路点拨】圆与圆相切分为外切和内切两种情况，平移的过程中⊙P与⊙O的位置关系依次经过了外切，内切、内切、外切四种情况，解题时应依次分类讨论.

【答案】