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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积优秀课件ppt
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8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积新知导入上节已经学习了简单多面体的表面积与体积求法，旋转体的表面积与体积又如何求解呢？新知讲解圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图，可以得到它们的表面积公式： (r是底面半径，l是母线长）。 (r是底面半径，l是母线长）。 (r',r分别是上下底面半径，l是母线长）。 思考1：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 练习一圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方体，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A 4πS B 2πS C πS D 解：选A底面半径是 ，所以正方形的边长是 。故圆柱的侧面积是 。 练习二：如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．解：该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝ .所以圆锥的表面积 ，圆柱的侧面积 .所以所求几何体的表面积 . 2 圆柱、圆锥、圆台的体积我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式即 (是底面半径，h是高) (是底面半径，h是高)由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 (r',r分别是上下底面半径，h是高） 对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．上底缩小思考2：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系？上底扩大S'=S练习三：圆台的上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ） 解：选D。S1=π，S2=4π，所以r=1,R=2,S侧=6π=π（R+r）l,所以l=2,所以h= 。所以 练习四：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：旋转得到一个圆锥和圆台的组合体， OABCRR3 球的表面积和体积设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πr²例一：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)解：一个浮标的表面积为2π*0.15*0.6+4π*0.15²=0.8478（m²）所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)练习五：湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴，则该球半径是_____cm,表面积是______cm²。解：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD=R-1，则（R-1）²+3²=R²，得R=5cm,所以该球表面积为S=4πR²=4π*5²=100π（cm²）。思考3：在小学我们学了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？πrr4 球的体积：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。OABDC 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积 例二：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。 练习六：在例二的条件下，证明球的表面积等于圆柱的侧面积。 球的截面问题 一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )A. B． C． D． 解：如图，设截面圆的圆心为O’, M为截面圆上任意一点则oo’ ，O’M=1.所以OM= ，即球的半径为 ，∴V= B球的截面性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系 内接球问题：设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2解： 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝ ，线段BC 即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝ ，则球的半径，所以球的表面积S＝4πR 2＝6πa 2. B总结：1.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2.长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝ ，如图(2)3．正四面体的外接球：正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R＝ . 一、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米堆约有（ ）A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛课堂练习解：选B，设米堆的底面半径为r,则8=2πr/4,因为π=3，所以r=16/3;则 ，所以 二、设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）解：选C 设正方体棱长为a,由题意可知，6a²=24，所以a=2.设正方体外接球的半径为R，则 a=2R,所以R= ,所以 。 B课堂总结1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（1）表面积（2）体积 2、球的表面积与体积 板书设计 目标1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（重）2、球的表面积与体积（难）精讲 习题1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（1）表面积公式（2）体积公式2、球的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积新知导入上节已经学习了简单多面体的表面积与体积求法，旋转体的表面积与体积又如何求解呢？新知讲解圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图，可以得到它们的表面积公式： (r是底面半径，l是母线长）。 (r是底面半径，l是母线长）。 (r',r分别是上下底面半径，l是母线长）。 思考1：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 练习一圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方体，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A 4πS B 2πS C πS D 解：选A底面半径是 ，所以正方形的边长是 。故圆柱的侧面积是 。 练习二：如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．解：该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝ .所以圆锥的表面积 ，圆柱的侧面积 .所以所求几何体的表面积 . 2 圆柱、圆锥、圆台的体积我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式即 (是底面半径，h是高) (是底面半径，h是高)由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 (r',r分别是上下底面半径，h是高） 对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．上底缩小思考2：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系？上底扩大S'=S练习三：圆台的上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ） 解：选D。S1=π，S2=4π，所以r=1,R=2,S侧=6π=π（R+r）l,所以l=2,所以h= 。所以 练习四：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：旋转得到一个圆锥和圆台的组合体， OABCRR3 球的表面积和体积设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πr²例一：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)解：一个浮标的表面积为2π*0.15*0.6+4π*0.15²=0.8478（m²）所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)练习五：湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴，则该球半径是_____cm,表面积是______cm²。解：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD=R-1，则（R-1）²+3²=R²，得R=5cm,所以该球表面积为S=4πR²=4π*5²=100π（cm²）。思考3：在小学我们学了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？πrr4 球的体积：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。OABDC 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是 由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积 例二：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。 练习六：在例二的条件下，证明球的表面积等于圆柱的侧面积。 球的截面问题 一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )A. B． C． D． 解：如图，设截面圆的圆心为O’, M为截面圆上任意一点则oo’ ，O’M=1.所以OM= ，即球的半径为 ，∴V= B球的截面性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系 内接球问题：设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2解： 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝ ，线段BC 即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝ ，则球的半径，所以球的表面积S＝4πR 2＝6πa 2. B总结：1.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2.长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝ ，如图(2)3．正四面体的外接球：正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R＝ . 一、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米堆约有（ ）A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛课堂练习解：选B，设米堆的底面半径为r,则8=2πr/4,因为π=3，所以r=16/3;则 ，所以 二、设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）解：选C 设正方体棱长为a,由题意可知，6a²=24，所以a=2.设正方体外接球的半径为R，则 a=2R,所以R= ,所以 。 B课堂总结1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（1）表面积（2）体积 2、球的表面积与体积 板书设计 目标1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（重）2、球的表面积与体积（难）精讲 习题1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（1）表面积公式（2）体积公式2、球的表面积与体积
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