数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直获奖课件ppt

导入新课

前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中的垂直又是什么样的呢?

学生思考问题，引出本节新课内容。

问题导入引出新知。

讲授新课

1.探究：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线A’C’与直线AB,直线A’D’与直线AB都是异面直线，直线A’C’与A’D’相对于直线AB的位置关系相同吗？

根据实例观察体会线线垂直

段炼学生空间想象能力

讲授新课

不同

2.异面直线夹角：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角）

3.如果两条异面直线夹角为90°，那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b当两条直线平行时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°≤α≤90°

4.想一想：在平面几何中，垂直于同一直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？

不成立反例如图。

5.练习一

1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.(      )

2.异面直线a与b所成角可以是0°.(       )

3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.(      )

注意： 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.

2. 当直线a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面.

例一：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’

（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？

（2）求直线BA’与CC’所成角的大小

（3）求直线BA’与AC所成角的大小

解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直。

（2）因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。

（3）如图，连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。

求两条异面直线所成的角的一般步骤

(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.

(2)计算角：求角度，常利用三角形.

(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

6.例二：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD

证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体

∴BB’//DD’,BB’=DD’

∴四边形BB’DD’是平行四边形

∴B’D’//BD

∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角

连接AB’,AD’易证AB’=AD’

又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点

∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD

7.例三

如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.

解：取BC中点O,连接OE,OF，如图。

∵E,F分别是AB,CD的中点，∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角

∵BD,AC所成角为60°，∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,

∴OE=OF=1当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=1,当∠EOF=120°时，取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM=     ,∴EF=2EM=

8.练习二

如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（    ）

A．相交 B．平行 C．既不相交，也不平行 D．不能确定

解：由题,则正方体的直观图如图所示,

易知,  AB与CD既不平行,也不相交,

故选:C

9.练习三

四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______

解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60° 

10.利用勾股定理证直线与直线垂直

在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角

解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB

∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角

MF=ME=2，EF=

∴MF²+ME²=EF²

∴∠EMF=90°

∴异面直线AB和CD的夹角是90°。

11.练习四

如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1  ,CC1，AD的中点，则异面直线D1N  与MP所成角的大小是（    ）

A 90°       B 60°       C 45°        D 30°

课堂练习

一、已知长方体ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1则异面直线A1B1与AC1所 成 角 的 余 弦 值 为________

二、已知点M、N分别为正方体ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’与AA’的中点，平面DNM与平面ABCD的交线记为l,则l与C’M所成角的大小为______

三、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线AC’与B’D’的夹角是多少？

探究异面直线夹角

学生独立完成练习一

学生独立思考例一

让学生总结求异面直线夹角的步骤

学生独立思考例二

小组讨论例三并给出答案

做一做

独立完成练习

掌握异面直线所成角范围

段炼学生解决问题能力，培养其空间想象能力

段炼学生空间想象能力

段炼学生总结能力，有助有数学建模

加深对知识的掌握

培养其逻辑推理能力

通过练习逐步培养学生将理论应用实际的。

加深对本节新知的掌握

课堂小结

1 异面直线夹角

2 平面与平面平行性质

3.求异面直线夹角

学生对本节内容进行总结。

学生对于新知建立系统结构。

板书

目标

1 异面直线夹角

2 平面与平面平行性质

3.   求异面直线夹角

精讲               习题                        

1 异面直线夹角

2 平面与平面平行性质

3.求异面直线夹角