人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直获奖ppt课件

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竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？为了让一面墙砌的稳固，不易倒塌，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？

学生思考问题，引出本节新课内容。

利用生活实际引出本节新课内容。

讲授新课

1. 二面角

定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

记法

棱为l,两个面分别为α、β的二面角记作α-l-β。

2. 思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗，为什么？

答：无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.

3.二面角的平面角的特点：

（1)角的顶点在二面角的棱上

（2)角的两边分别在二面角的两个面内

（3)角的两边都与棱垂直

4.例一:已知，如图所示锐二面角α-l-β，A为面α内一点，A到β的距离为2，到l的距离为4.求二面角α-l-β的大小.

5.利用平面角求二面角大小的步骤：

（1)作二面角的平面角

（2)证明该角为平面角

（3)归纳到三角形求值  

简记：一作、二找、三求解

6. 例二：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

解：由已知PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内∴PA⊥BC

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC

又∵PA∩AC=A,PA,AC在平面PAC内，∴BC⊥平面PAC

又PC在平面PAC内，∴PC⊥BC

又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角

由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形∴∠PCA=45°，

即二面角P-BC-A的大小是45°

7.面面垂直定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β

8. 探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细绳紧贴墙面，工人师傅被认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？

这个方法说明，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直。

9.定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

符号语言：l 在α内，l⊥β，则α⊥β。

10.例三：如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝    a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a. 求证：平面ABD⊥平面BCD.

总结：用定义证明两个平面垂直的步骤

利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：

①找出两个相交平面的平面角；

②证明这个平面角是直角；

③根据定义，这两个平面互相垂直．

11. 练习一：如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD垂直平面ACC'A'

证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体

∴AA'⊥平面ABCD

∴AA'⊥BD

又BD⊥AC

∴BD⊥平面ACC'A'

∴平面A'BD⊥平面ACC'A'

12. 例四：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆o所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证:平面PAC⊥平面PBC

证明：∵PA⊥平面ABC

BC在平面ABC内

∴PA⊥BC

∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆O的直径

∴∠BCA=90°即BC⊥AC

又PA∩AC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC中

∴BC在平面PBC内

∴平面PAC⊥平面PBC

13. 练习二：如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1

证明：∵四边形BCC1B1为梯形，∴BC1⊥B1C,又已知B1C⊥A1B,

A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1,又∵B1C在平面AB1C内，

∴平面AB1C⊥A1BC1

探究：如图，设α⊥β，α∩β=a,则β内任意一条直线b与a有什么关系？相应的b与α有什么位置关系？

证明：显然b与a平行或相交，当b//a时，b//α;当b与a相交时，b与α也相交。而当b垂直a时，b也垂直α。

14.练习三：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.

证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图，因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD中点，所以BG⊥AD。又因为BG∩PG=G，所以AD⊥平面PGB。因为PB属于平面PGB，所以AD⊥PB。

（2）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD如图设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而EF属于平面DEF，DE属于平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF//平面PGB，由（1）得AD⊥平面PGB，而AD属于平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD

规律方法 证明两两垂直常用的方法：

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.

15.练习四：如图PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：AB⊥BC

16.探究二：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α有什么位置关系？

证明：我们知道，过一点只能做一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，设α∩β=c,过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理，b⊥β，因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a在α内。

17.平面与平面垂直性质

例五：如图，已知平面α垂直平面β，直线a⊥β，a不在α内，判断a与α的位置关系。

解：在α内作垂直于α与β的直线b

∵α⊥β，∴b⊥β

又a⊥β∴a//b

又a不在α内

∴a//α

即直线a与平面α平行

例六：如图，已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,求证：BC⊥平面PAB

证明：如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E

∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC

∴AE⊥平面PBC

∵BC在平面PBC内∴AE⊥BC

∵PA⊥平面ABC,BC在平面ABC内

∴PA⊥BC又PA∩AE=A

∴BC⊥平面PAB

18.例七：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

证明（1）连接BD，如图，在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°∴△ABD为正三角形又∵G是AD的中点∴BG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG在平面ABCD内，∴BG⊥平面PAD

（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD

由（1）知BG⊥AD∴AD⊥平面PBG∴AD⊥PB

总结：应用面面垂直的性质定理，应注意三点：

①两个平面垂直是前提条件；

②直线必须在其中一个平面内；

③直线必须垂直于它们的交线. 

19.练习

一、如图所示，四棱锥P-ABCD是菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD。证明：平面PBE⊥平面PAB

二、在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD垂直平面ABCD

证明：AB⊥平面VAD

根据实例观察空间中的面面垂直

给出二面角特点

学生独立思考例二

小组讨论探究一并给出答案

学生独立完成例三

小组讨论例四

学生独立思考练习二

学生小组探究面面垂直性质

学生独立思考探究二

学生独立完成例五

学生独立完成练习

通过具体立体图形体会面面垂直

培养学生的数形结合思想

段炼学生解决问题能力

段炼学生独立解决问题能力

加深对知识的掌握

段炼学生团队协作能力

段炼学生对于新知识的掌握

段炼其数学建模思想

锻炼其思考及总结能力

段炼学生独立解决问题能力

加强对知识的掌握

课堂小结

1 面面垂直判定

2 二面角

3 面面垂直性质

学生对本节内容进行总结。

学生对于新知建立系统结构。

板书

目标

1 面面垂直判定

2 二面角

3 面面垂直性质

精讲               习题                        

1 面面垂直判定

2 二面角

3 面面垂直性质