2021-2022学年浙江省杭州市钱塘新区学正中学七年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年浙江省杭州市钱塘新区学正中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 红细胞的平均直径是，数科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. “潮涌”是年杭州亚运会会徽，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，如图是会徽的一部分，在以下四个选项中，能由该图经过平移得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知是的一个解，则的取值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列从左到右的变形中是因式分解的有(    )
   ，
   ，
   ，
   ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 根据分式的基本性质，分式可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，，平分，且：：，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 由方程组可得与的关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 小明郊游时，早上时下车，先走平路然后登山，到山顶后又沿原路返回到下车处，正好是下午时．若他走平路每小时行，爬山时每小时走，下山时每小时走，小明从上午到下午一共走的路程是(    )

A.  B.  C.  D. 答案不唯一

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. ______，______．
12. 如果，，那么______．
13. 要使分式有意义，则字母的取值范围是______．
14. 若是一个完全平方式，则实数______．
15. 如图，，，平分，，，则的度数为______

16. 如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若与为关联多项式，则______；若与为关联多项式，且为一次多项式，当不含常数项时，则为______．

三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程组：．
    因式分解．
    ．
18. 本小题分
    填空：
    ______；
    ______．
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    如图，，．
    求证：；
    若是的角平分线，，求的度数．

20. 本小题分
    阅读材料：将分解因式．
    解：将看成整体，令，则原式，再将还原，原式．
    上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小题．
    因式分解：；
    设．
    因式分解；
    若，求的值．
21. 本小题分
    已知，求分式的值．
    已知，求和的值．
22. 本小题分
    某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批，两种型号的新能源汽车，据了解，辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元．
    求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
    该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，并使得购进的种型号的新能源汽车数量多于种型号的新能源汽车数量，请试写出该公司的采购方案．
23. 本小题分
    两个边长分别为和的正方形如图放置图，，，若阴影部分的面积分别记为，，．
    用含，的代数式分别表示，，；
    若，，求的值；
    若对于任意的正数、，都有为常数，求，的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据平移的性质可知：能由该图经过平移得到的是，
故选：．
根据平移的性质即可进行判断．
本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、可判断，故此选项错误；
B、可判断，故此选项错误；
C、可判断，故此选项错误；
D、可判断，故此选项正确；
故选：．
根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入中可得：
，
，
故选：．
把，的值代入方程中进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
，从左到右的变形不符合因式分解的定义，不合题意
，从左到右的变形是因式分解，符合题意；
故选：．
直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据分式的性质：分式的分子、分母异号得负，可得答案．
本题考查了分式的性质，分式的分子分母同号得正，异号得负．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
．
．
设，则．
平分，
．
，
．
．
．
．
故选：．
由于，得，故根据角平分线的定义，再根据：：可求得．
本题主要考查平行线的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
得：，
故选：．
方程组消去即可得到与的关系式．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

10.【答案】 

【解析】解：设平路有，山路有．
则，
解，得，
，
故选：．
本题是求小明从上午到下午一共走的路程，也就是山路和平路往返各一次．在这些路程里有山路，有平路，都是未知的，所以要设它们未知数．本题只包含一个等量关系：走山路时间走平路时间走山路时间包括上山所用时间和下山所用时间，走平路时间包括往返两次平路时间．
本题设了个未知数，只有一个等量关系．先尝试去做，可以发现答案就在这一个等量关系里．所以在做数学题的时候，不放弃也是一种方法．
 

11.【答案】   

【解析】解：原式，原式．
故答案为：，．
各式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，根据同底数幂乘法的法则计算即可．
本题考查了同底数幂乘法，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．是正整数，推广：都是正整数．
 

13.【答案】 

【解析】解：要使分式有意义，
则，
解得．
故答案是：．
分式有意义的条件：分母不能为．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
根据完全平方式即可求出答案．
本题考查完全平方式，解题的关键是正确运用完全平方式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为．
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等同旁内角互补即可求解．
本题考查了平行线的性质、角分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
 

16.【答案】，或； 

【解析】解：，
的公因式为、．
若与为关联多项式，则或．
当时，．
当时，．
综上：．
与为关联多项式，且为一次多项式，
或，为整数．
当为整数时，若不含常数项，则．
．
当为整数时，若不含常数项，则．
．
．
综上，或．
故答案为：，或．
本题主要运用分类讨论的思想解决．
本题主要考查多项式、公因式以及同类项，熟练掌握多项式、公因式以及同类项是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：将记作，记作．
，得．
，得．
．
将代入，得．
．
这个方程组的解为
．
． 

【解析】运用加减消元法解决此题．
逆用完全平方公式进行因式分解．
先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
本题主要考查解二元一次方程组、因式分解，熟练掌握二元一次方程组的解法、公式法、提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：；
，
故答案为：；；
原式

，
当时，
原式

．
先算同底数的幂相乘，再分别同类项；
先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式的除法；
先展开，再分别同类项，化简后将代入即可．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
 

19.【答案】解：证明：，
，
，
，
；
，
，
是的角平分线，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质定理以及判定定理即可解答；
根据角平分线的定义以及平行线的性质定理即可求解．
本题考查了平行线的性质定理和判定定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

20.【答案】解：令，
则原式，
再将还原，
原式；
，
令，
则


；
，
，
，
，
的值为． 

【解析】仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；
仿照材料中例题的解题思路，进行计算即可解答；
根据，可得，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式，以及整体的数学思想是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，



；
，
，
，
；
，
，
． 

【解析】已知，则，将代入求值的代数式，消去即可；
将左右两边分别平方，即可求得的值，同理求得的值．
本题考查了代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
 

22.【答案】解：设型汽车进价为万元辆，型汽车进价为万元辆，
依题意得：，
解得：．
答：型汽车进价为万元辆，型汽车进价为万元辆．
设购进型汽车辆，则购进型汽车辆，
依题意得：，
解得：．
又、均为正整数，
，，或，．
答：该公司的采购方案有两种：
一、购进型汽车辆，型汽车辆，
二、型汽车辆，型汽车辆． 

【解析】设型汽车进价为万元辆，型汽车进价为万元辆，根据“辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车和辆型汽车的进价共计万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进型汽车辆，则购进型汽车辆，根据购进的种型号的新能源汽车数量多于种型号的新能源汽车数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合、均为正整数，即可确定的值，进而可得出购买方案．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：图中，阴影的边长都是，所以；
图中，阴影面积；
图中，．
当，时，
，
解得，，代入，得，
，
因为；；．
对于任意的正数、，都有为常数，
则，
整理得：，
由于，为常数，故由待定系数法得：
，，解得，． 

【解析】图中，直接求出阴影的边长，都是；图中，两个正方形的面积与两个白色三角形的面积的和的差；图中，阴影部分是直角三角形，直接用直角边长的乘积除以．
把，和代入中，便可解出，值，整体代入；
把中的三个等式代入，经过整理，有点巧，再由待定系数法解得．
本题考查完全平方公式与正方形相结合解决问题的能力，问，考查式子的变形能力，从而求得，值．