2021-2022学年江苏省苏州市工业园区星汇学校八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省苏州市工业园区星汇学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 两个三角形相似比是：，其中小三角形的周长为，则另一个大三角形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，是方程的两实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 相邻两边长分别为和的平行四边形，若边长保持不变，其内角大小变化，则它可以变为(    )

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形或菱形

6. 如图，在直角坐标系中，有两点，，以原点位似中心，相似比为，在第一象限内把线段缩小后得到线段，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知函数的图象上有，，且，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，将边长为个单位的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为个平方单位时，它移动的距离等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知▱的顶点、分别在直线和上，是坐标原点，则对角线长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 一元二次方程的解是______．
12. 在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为______．
13. 若关于的方程有一个根是，则______．
14. 如图，两条笔直的公路、相交于点，村庄的村民在公路的旁边建三个加工厂，，已知，村庄到公路的距离为，则村庄到公路的距离是______．

15. 小明想测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点处立一标杆，使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠即点、、在一直线上，量得米，米，米，则电线杆长______米．

16. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为的面积为若点也在此函数的图象上，则______．

17. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是______．

18. 如图，菱形，，，点从点向点以个单位秒的速度运动，同时点从点向点以个单位秒的速度运动，连接、，当为等边三角形时， ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    用适当的方法解下列方程
    ；
    ．
20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    当取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
    若是这个方程的一个根，求的值和另一根．
21. 本小题分
    小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：组交通疏导、组环境消杀、组便民代购，开展服务工作．
    小丽的爸爸被分配到组的概率是______；
    若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．
22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
    求反比例函数的解析式；
    求的面积．

23. 本小题分
    如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱长，且与水平桌面垂直，灯臂长为，灯头的横截面为直角三角形，，当灯臂与灯柱垂直时，沿边射出的光线刚好射到底座点，若不考其他因素，求该台灯在桌面可照亮的宽度的长．

24. 本小题分
    已知，如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于，且，求的长．

25. 本小题分
    如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为．

26. 本小题分
    如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合，在移动过程中，边始终与边重合，连接，过点作的平行线交线段于点，连接已知正方形的边长为，矩形的边，的长分别为，，设正方形移动时间为，线段的长为，其中．
    试求出关于的函数关系式，并求当时相应的值；
    记的面积为，的面积为试说明是常数；
    当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长．

27. 本小题分
    邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形．如图，▱中，若，，则▱为阶准菱形．
    
    判断与推理：
    邻边长分别为和的平行四边形是______阶准菱形；
    小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图，把▱沿折叠点在上，使点落在边上的点，得到四边形请证明四边形是菱形．
    操作、探究与计算：
    已知▱的邻边长分别为，，且是阶准菱形，请画出▱及裁剪线的示意图，并在图形下方写出的值；
    已知▱的邻边长分别为，，满足，，请写出▱是几阶准菱形．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：设大三角形的周长为．
两个相似三角形相似比是：，其中小三角形的周长为，
：：，
，
故选：．
根据相似三角形的周长比等于相似比，求解即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
估计点落入黑色部分的概率为，
估计黑色部分的总面积约为，
故选：．
先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，可估计点落入黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得出答案．
本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

4.【答案】 

【解析】解：，是方程的两实数根，
，
故选：．
根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出的值，此题得解．
本题主要考查了根与系数的关系，解题要掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
当时，四边形就是矩形，
四边形邻边不相等，
不能变成菱形，也不能变成正方形，
故选A．
根据矩形的判定得出能变成矩形，根据菱形的四边相等可得不能变成菱形，也不能变成正方形．
本题考查了对平行四边形性质，矩形、菱形、正方形的判定的应用，注意：有一个角是直角的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，∽，相似比是，
，又，，
，，
点的坐标为：，
故选：．
根据位似变换的性质可知，∽，相似比是，根据已知数据可以求出点的坐标．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，阴影部分是大圆面积的一半，则该点取自阴影部分的概率是．
故选：．
根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，，，
，
，整理得，
．
故选：．
根据题意可得和的值，列出不等式可得出的取值范围．
本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，得出关于的不等式是解题关键．在做题时也可简单画出图形，可直接得出．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
和是等腰直角三角形，
如图，记与的交点为点，与的交点为，
由平移的性质得，和为等腰直角三角形，
重叠部分的四边形为平行四边形，
设，则，，
，
解得：或，
故选：．
先判断重叠部分的形状，然后设，进而表示等相关的线段，最后通过重叠部分的面积列出方程求出的值即可得到答案．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平移的性质，通过平移的性质得到重叠部分四边形的形状是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作直线，交直线于点，过点作轴，交轴于点，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点，如图：
四边形是平行四边形，
，，，
直线与直线均垂直于轴，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌．
，
，
．
由于的长不变，点在直线上运动，当点在轴上时，最小，最小值为．
故选：．
过点作直线，交直线于点，过点作轴，交轴于点则由于四边形是平行四边形，所以，又由平行四边形的性质可推得，则可证明≌，所以的长固定不变，当最小时，取得最小值，从而可求．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

11.【答案】， 

【解析】解：原方程变形为：，
，．
故答案为：，．
本题应对方程左边进行变形，提取公因式，可得，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为，这两式中至少有一式值为”，即可求得方程的解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
设黄球的个数为个，根据概率公式得到，然后解方程即可．
【解答】
解：设黄球的个数为个，
根据题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程得出，求出关于的方程的解即可．
【解答】
解：关于的方程有一个根是，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于，作于，

，
四边形是菱形，
，
于，于，
，
即村庄到公路的距离是．
故答案是：．
连接，过点作于，作于，证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，即平分，然后根据角平分线的性质，即可求得答案．
本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
∽，
：：，
：：，
米．
故答案是：．
根据题意求出∽，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．
本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出电线杆长．
 

16.【答案】 

【解析】解：垂直于轴，垂足为，
的面积，即，
而，
，
反比例函数为，
点也在此函数的图象上，
，解得．
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义求得的值，即可求得反比例函数的解析式，代入点，即可求得．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

17.【答案】 

【解析】解：在矩形中，
，
，
把矩形沿翻折点恰好落在边的处，
，，，，，
在中，
，
是等边三角形，，
中，
，
，而，
，
，即，
，，
，
矩形的面积．
故答案为：．
由把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案．
此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
若是等边三角形，则，．
．
四边形是菱形，，
，．
，
．
≌．
．

设运动时间为，则，解得．
所以，．
如图，过点作，交延长线于点，
，
，
在中，，．

在中，利用勾股定理可得．
所以等边三角形的边长为．
所以等边三角形的面积．
故答案为．
连接，证明≌，由此得到，据此可求出运动时间为秒，从而得到，在中求出值，根据等边面积公式即可求解．
本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解决动点问题一般是“动中找静”，用速度时间表示线段的长度．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，；
，


，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即．
当时，，
，
，
解得．
即另一根是． 

【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，从而可以求得的取值范围；
把代入已知方程，得到关于的一元一次方程，通过解该方程来求的值，则可得出答案．
本题考查根的判别式，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟练运用根的判别式和方程的解的定义．
 

21.【答案】 

【解析】解：小丽的爸爸被分配到组的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有种，
刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：点是直线与反比例函数交点，
点坐标满足一次函数解析式，
，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
轴，
，轴，
，
令，则，
，
，
，
的面积为． 

【解析】因为一次函数与反比例函数交于点，将代入到一次函数解析式中，可以求得点坐标，从而求得，得到反比例函数解析式；
因为轴，所以，利用一次函数解析式可以求得它与轴交点的坐标，由，，三点坐标，可以求得和的长度，并且轴，所以，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
 

23.【答案】解：在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
该台灯在桌面可照亮的宽度的长． 

【解析】首先利用勾股定理求出，再利用∽，得，代入即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
 

24.【答案】解：设与交于点，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
由翻折的性质得：≌，
，，，
在和中，，
≌，
，，
，
，
设，则，，
，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
． 

【解析】由折叠的性质得出，，，由证明≌，得出，，设，则，，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：设为，则为，
根据题意得方程：，
，
解得；，，
当时不合题意，舍去，
当时符合题意．
答：当砌墙宽为米，长为米时，花园面积为平方米． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．设为，则为，根据题意可得等量关系：矩形的长宽，根据等量关系列出方程，再解即可．  

26.【答案】解：，
，
又，
∽，
，
，，，
，，
，即，
关于的函数关系式为，
当时，，解得，
经检验的是分式方程的根．
故的值为；

，
，
，即为常数；

延长交于点．
正方形中，为对角线，
，
，
，
．
是等腰直角三角形，则，
，
化简得：．
解得：，
，
，
在中，． 

【解析】根据题意表示出、的长度，再由∽，利用对应边成比例可解出的值．
利用得出的与的关系式表示出、，然后作差即可．
延长交于点，然后判断是等腰直角三角形，从而结合的范围得出的值，在中，解直角三角形可得出的长度．
此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．
 

27.【答案】；
由折叠知：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；


如图所示：
，
答：阶菱形，
，，
；
如图所示：

故▱是阶准菱形． 

【解析】

解：利用邻边长分别为和的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为的菱形，
故邻边长分别为和的平行四边形是阶准菱形；
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
【分析】
根据邻边长分别为和的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
根据平行四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案；
利用阶准菱形的定义，即可得出答案；
根据，，用表示出各边长，进而利用图形得出▱是几阶准菱形．
此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．