2021-2022学年江西省宜春市丰城九中日新班高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省宜春市丰城九中日新班高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 扇形的弧长为，面积为，则圆心角的弧度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知钝角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点的四等分点，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 锐角中，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 设，是虚数单位，复数则下列说法正确的是(    )

A. 若为实数，则
B. 若为纯虚数，则
C. 当时，在复平面内对应的点为
D. 的最小值为

10. 将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(    )

A.  B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增

11. 在中，在线段上，且，，若，，则(    )

A.  B. 的面积为
C. 的周长为 D. 为钝角三角形

12. 已知非零向量，的夹角为，现定义一种新运算：若，，，则(    )

A. 在上的投影向量的模为
B. ，
C.
D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量，的夹角是，若，，则 ______ ．
14. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则______．
15. 已知，，则______．
16. 已知，，分别为的内角，，所对的边，，且，，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 证明：；
    求值：．
18. 如图，在中，为边的中线，，过点作直线分别交边，于点，，且，，其中，
    当，用，线性表示；
    证明：为定值．

19. 在中，角，，的对边分别是，，，且满足．
    求角的大小；
    若，且，求的面积．
20. 在中，角，，的对边分别为，，且，作，使得如图所示的四边形满足，．
    求；
    求的取值范围．

21. 已知向量令函数．
    Ⅰ求函数的最大值；
    Ⅱ中，内角，，的对边分别为，，，的角平分线交于其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
22. 已知函数．
    当时，求的值域；
    若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据充要条件的定义判断即可．
本题考查充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，
则由扇形面积与弧长公式可得，，，解得弧度数，
故选：．
设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，然后根据扇形的面积公式以及弧长，圆心角与半径的关系建立方程即可求解．
本题考查了扇形的面积公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，钝角的终边经过点，
所以，所以，
故选：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，得出结论．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得．
故选：．
由已知结合向量的线性表示及向量共线定理即可求解．
本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
在上为增函数，
，
，
故选：．
利用二倍角公式化简，利用两角和与差的余弦公式化简，利用诱导公式化简，可得答案．
本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，二倍角公式，诱导公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：不等式可转化为，
即在上恒成立，
当时，，
则，则，
即的取值范围是．
故选：．
先由三角恒等变换即将题设转化为在上恒成立，再由正弦函数的性质求出的最小值即可得解．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查三角恒等变换与正弦函数的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：锐角中，，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
化简得，
因为锐角中，，，
所以，
所以或，
故B或舍，
所以，
解得，
则
故选：．
由已知结合余弦定理及正弦定理先进行化简，然后结合和差角公式可得，的关系，代入到所求式中，结合正弦定理及正弦函数的性质可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及正弦函数的性质的应用，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：若为实数，则虚部为，即，故A正确，
若为纯虚数，则实部为，即，故B正确，
当时，，则在复平面内对应的点为，故C错误，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：．
对于，结合实数和纯虚数的定义，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解；对于，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查实数和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，可得的图象，
再把横坐标缩短为原来的，可得的图象，
再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故A错误；
令，求得，为最大值，可得的图象关于直线对称，故B正确；
令，求得，可得的图象关于点对称，故C正确；
在上，，在上不单调递增，故D错误，
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由可得，故A错误；
设，，
在中由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，即，，
所以，故B正确；
由余弦定理可知，，
即，解可得，，故周长，故C正确；
由余弦定理可得，，
故C为钝角，D正确，
故选：．
由已知结合余弦定理余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．
本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于综合试题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A，在上的投影向量的模为，即选项A错误；
对于选项B，当时，，即选项B正确；
对于选项C，，所以，所以，即选项C正确；
对于选项D，，，其值可能为正，可能为零，也可能为负数，即选项D错误，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合向量运算的新定义的理解及运算逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量运算的新定义的理解及运算，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，的夹角是，，，
则，
则
，
即有．
故答案为：．
由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求值．
本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方．考查运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
则．
故答案为：．
根据诱导公式，正弦的倍角公式以及正余弦的同角关系化简即可求解．
本题考查了三角函数的恒等变换，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，可得，
又，
所以，
则．
故答案为：．
由题意可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，由于，利用两角差的余弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，得，
，，
，，
，，
，故，由余弦定理可得，
，，．
故答案为：．
利用三角恒等变换可得，可求，由余弦定理可得，代入可求．
本题考查三角恒等变换与余弦定理，属中档题．
 

17.【答案】证明：因为左边右边，所以原命题成立．
解：因为，
所以，
所以． 

【解析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可证明；
结合两角和的正切公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为为边的中线，所以，
因为，，
所以，，
所以，
即．
证明：由可得，
因为，，
所以，，
所以，
由，，三点共线，则，
即定值． 

【解析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解．
先求出，再由，，三点共线，证明即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，三点共线的性质，属于中档题．
 

19.【答案】解：由正弦定理及已知得，
所以所以，
则，因为，所以．
由可知，，因为，
所以，则，所以，所以．
又由，所以，解得，
所以
． 

【解析】由正弦定理对已知式子进行边角互化可得，结合余弦定理可求出，进而可求出角的大小．
由诱导公式及正弦定理，可得，即可求出，结合三角形的内角和定理可求出，由正弦定理求得，进而代入三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查了诱导公式，考查了两角和的正弦公式．
 

20.【答案】解：由，可得，
即，可得，
因为，所以．
设，则，，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，


，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以的取值范围是． 

【解析】利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．
利用正弦定理，三角恒等变换得到，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．
本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ，
，



，
的最大值为；
Ⅱ由恰好为函数的最大值可得，
即，
，解得，
则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
，
在中，，
则可得，
则，
，，
，
当且仅当等号成立，故的最小值为． 

【解析】Ⅰ根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简，根据正弦函数的值域可得结果；
Ⅱ根据条件求得，，由正弦定理表示，，利用基本不等式求解．
本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为．
因为，所以，，
即的值域为．
，
令，可得，
解得．
因为在区间上没有零点，
所以，解得，
因为，所以，
又由，得，所以或，
当时，；
当时，，
综上所述，正实数的取值范围是． 

【解析】，利用的范围可求值域；
化简，可得进而可得，可求正实数的取值范围．
本题考查求函数的值域，以及函数无零点求实数的范围问题，属中档题．