第一单元题型探究-正方体的表面积与体积（专项训练）-小学数学六年级上册苏教版

第一单元题型探究-正方体的表面积与体积（专项训练）-小学数学六年级上册苏教版

一、选择题

1．棱长为9dm正方体，切成3个相同的长方体，表面积将会增加（       ）dm2。

A．81 B．162 C．324 D．648

2．一个正方体的棱长总和是48分米，它的表面积是（       ）。

A．64平方分米 B．96平方分米 C．144平方分米 D．72平方分米

3．一个体积为125立方分米的正方体木块，从顶点处挖掉一个棱长为1分米的小正方体木块后，（       ）。

A．表面积变小，体积变小 B．表面积变大，体积不变

C．表面积不变，体积变小 D．表面积变小，体积不变

4．将一个正方体铁块锻造成一个长方体铁块，正方体铁块和长方体铁块相比较，（       ）。

A．表面积和体积都相等

B．表面积不相等，体积相等

C．体积和表面积各不相等

5．一个正方体的表面积是24cm2，如果底面不变，高度增加3cm，体积增加（       ）cm3。

A．4 B．24 C．56 D．12

6．用边长1分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从侧面看是，这个模型的体积是（ ）立方分米。

A．4 B．5 C．6 D．10

7．一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体纸盒，最多能放（       ）个棱长为2分米的正方体木块。

A．8 B．12 C．14 D．15

8．一个正方体的底面周长是，它的体积是（       ）。

A．9 B．27 C．36

二、填空题

9．一个正方体棱长的总和是60厘米，它的表面积是(      )平方厘米，体积是(      )立方厘米。

10．棱长是4厘米的正方体的表面积是(        )平方厘米，体积是(        )立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体(        )个。

11．用一根72厘米长的铁丝扎一个正方体框架，棱长最长是(      )厘米；在外面糊一层彩纸，至少需要(      )平方厘米的彩纸。

12．一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大(          )倍，体积扩大(          )倍。

13．用60厘米长的铁丝正好做成一个正方体框架（接头处忽略不计），这个正方体的棱长是(        )厘米，如果在它的表面糊上一层纸，至少需要(        )平方厘米的纸，这个正方体的体积是(        )立方厘米。

14．小云用若干个1立方厘米的正方体木块摆了一个物体。下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是(        )立方厘米。

15．如下图，4种纸片有若干张。用这些纸片围成一个正方体，体积是(      )立方厘米；围成一个长方体（不含正方体），体积最大是(      )立方厘米。（每张纸片单独成面）

16．小东把一块棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成长方体形状，如果捏成的长方体长9厘米，宽4厘米，高是(        )厘米。

三、判断题

17．正方体的棱长扩大5倍，它的表面积就扩大30倍。(        )

18．把一个棱长为4厘米的正方体切割成两个完全一样的长方体，每个长方体的体积是32立方厘米，表面积是48平方厘米。(        )

19．一个正方体的棱长总和是36厘米，它的体积和表面积相等。(        )

20．体积相等的两个正方体，它们的棱长总和相等。(      )

21．正方体的棱长减少2厘米，其体积就减少8立方厘米。(        )

四、解答题

22．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原正方体的表面积增加了64平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？

23．一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少56平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？

24．一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？

25．一个长方体，左右两侧面是正方形，它的表面积是112平方厘米，能切成3个体积相等的正方体，求切开后每个正方体的表面积是多少平方厘米？

26．如图，在这个长方体中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少？表面积最少减少了多少？（请在图中画出示意图，并计算）

27．一块长18分米、宽15分米、高12分米的长方体石材，王师傅想把它打磨成一个最大的正方体，磨去的石材是多少立方分米？

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

正方体的6个面都是完全相同的正方形；把一个正方体切成3个相同的长方体，需切2刀，切一刀增加2个正方形的面积，切2刀，增加2×2＝4个正方形的面积；每个正方形的面积是（9×9）dm2，再乘4，就是增加的表面积。

【详解】

2×2＝4（个）

9×9×4

＝81×4

＝324（dm2）

故答案为：C

【点睛】

掌握切一刀增加2个面，那么切n刀，增加2n个面是解题的关键。

2．B

【解析】

【分析】

由正方体的特征可知：正方体共有12条棱，且每条棱长都相等，棱长总和是48分米，则可以求出每条棱的长度，进而利用正方体的表面积公式就可以求出其表面积。

【详解】

棱长：48÷12＝4（分米）

正方体的表面积：

4×4×6

＝16×6，

＝96（平方分米）

故答案为：B

【点睛】

解答此题的主要依据是：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等以及正方体的表面积公式。

3．C

【解析】

【分析】

根据正方体的特征，因为在正方体的顶点上挖掉一个棱长为1分米的小正方体后，又外露3个与原来相同的正方形的面，所以表面积不变，体积减少了1立方分米，据此解答。

【详解】

因为在正方体的顶点上挖掉一个棱长为1分米的小正方体后，又外露3个与原来相同的正方形的面，所以表面积不变，体积减少了1立方分米。

故答案为：C

【点睛】

此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体的表面积、体积的计算方法。

4．B

【解析】

【分析】

物体所占空间的大小，叫做物体的体积；一个物体各个面的面积的和，叫做物体的表面积；据此解答。

【详解】

根据体积、表面积的意义可知：将一个正方体铁块锻造成一个长方体铁块，形状发生了变化，但体积没有变化；表面积不相等，体积相等。

故答案为：B

【点睛】

一个物体锻造成另一个物体，体积不变，表面积发生变化。

5．D

【解析】

【分析】

根据正方体的表面积公式S＝6a2，可得出正方体的底面积，如果底面不变，高度增加3cm，增加的体积＝正方体底面积×增加的高，据此作答。

【详解】

24÷6×3

＝4×3

＝12（cm3）

故答案为：D

【点睛】

本题考查正方体表面积和长方体体积公式的灵活运用，关键是求出正方体的底面积。

6．C

【解析】

【分析】

根据三视图确定搭成这个模型需要小正方体的数量，1个小正方体体积为1立方分米，这个模型有多少个小正方体体积就是多少立方分米，据此解答。

【详解】

如图所示，搭成这个模型需要6个小正方体，所以这个模型的体积是6立方分米。

故答案为：C

【点睛】

根据三视图确定搭成几何体所需的小正方体的个数是解答题目的关键。

7．B

【解析】

【分析】

用6÷2求出沿长可以放几个，用4÷2求出沿宽可以放几个，用5÷2求出沿高可以放几层，再根据乘法的意义解答即可。

【详解】

6÷2＝3（个）；

4÷2＝2（个）；

5÷2≈2（层）；

3×2×2＝12（个）；

故答案为：B。

【点睛】

解答本题时不可以用长方体的体积除以小正方体的体积，因为沿高不可以正好放整层数。

8．B

【解析】

【分析】

根据底面周长求出正方体棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。

【详解】

12÷4＝3（厘米）

3×3×3＝27（立方厘米）

故答案为：B

【点睛】

关键是确定正方体棱长，掌握正方体体积公式。

9．     150     125

【解析】

【分析】

由题意得正方体的棱长＝总和÷12，再根据正方体的表面积＝6a2计算出表面积，根据计算体积。

【详解】

60÷12＝5（厘米）

6×5×5＝150（平方厘米）

5×5×5＝125（立方厘米）

【点睛】

根据正方体的棱长＝总和÷12求出正方体的棱长是解题的关键。

10．     96     64     8

【解析】

【分析】

①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积；

②抓住正方体分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数。

【详解】

4×4×6＝96（平方厘米）

4×4×4＝64（立方厘米）

2×2×2＝8（立方厘米）

64÷8＝8（个）

则棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个。

【点睛】

此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法。

11．     6     216

【解析】

【分析】

根据正方体的特征12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等，由题意可知，用72厘米的铁丝扎一个正方体的框架，也就是正方体的棱长总和是72厘米，用72÷12＝6厘米，求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：s＝6a2，把数据代入公式解答。

【详解】

正方体的棱长是：

72÷12＝6（厘米）

表面积是：

6×6×6

＝36×6

＝216（平方厘米）

【点睛】

此题主要考查正方体的特征以及表面积的计算，已知棱长总和首先求出它的棱长，再根据表面积公式解答。

12．     9     27

【解析】

【分析】

正方体棱长扩大几倍，表面积扩大倍数×倍数，体积扩大倍数×倍数×倍数，据此分析。

【详解】

3×3＝9

3×3×3＝27

【点睛】

正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。

13．     5     150     125

【解析】

【分析】

根据题意，60厘米长的铁丝就是正方体的总棱长，正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，首先用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。

【详解】

60÷12＝5（厘米）

6×5×5

＝30×5

＝150（平方厘米）

5×5×5

＝25×5

＝125（立方厘米）

【点睛】

此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

14．5

【解析】

【分析】

从正面看是5个正方体，三层，下层3个正方体，上面二层各一个，右齐，从上面看是一行，3个正方体，从右边看是3层，每层1个正方体，这个物体有5个正方体组成，下层3个正方体，上两次各一个小正方体；用正方体的儿个数×小正方体的体积，即可解答。

【详解】

1＋1＋3

＝2＋3

＝5（个）

5×1＝5（立方厘米）

【点睛】

解答此题的关键是确定所用的小正方体的个数，然后列式计算即可。

15．     343     441

【解析】

【分析】

（1）根据正方体的特征，正方体的六个面完全相同，都是正方形，据此应选边长为7cm的正方形纸片6个，围成一个正方体，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；据此计算；

（2）围成一个长方体（不含正方体），体积为最大，应选择长为9厘米、宽为7厘米的长方形纸片4张，边长为7厘米的正方形纸片2张，即围成的长方体的长为9cm、宽为7cm、高为7cm，长方体的体积＝长×宽×高，即可求解。

【详解】

（1）围成的正方体的棱长为7cm，体积为：

7×7×7

＝49×7

＝343（立方厘米）

（2）围成的长方体的长为9cm、宽为7cm、高为7cm，长方体的体积＝长×宽×高，体积为：

9×7×7

＝63×7

＝441（立方厘米）

【点睛】

此题考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，还要熟记正方体和长方体的体积公式。

16．6

【解析】

【分析】

根据正方体体积公式：棱长×棱长×棱长，求出棱长是6厘米的正方体的体积，由于体积不变，捏成的长方体的体积等于正方体的体积，再根据长方体的体积公式：长×宽×高，高＝长方体体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。

【详解】

（6×6×6）÷（9×4）

＝（36×6）÷36

＝218÷36

＝6（厘米）

【点睛】

本题考查长方体体积公式、正方体体积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。

17．×

【解析】

【分析】

根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，正方体的棱长扩大5倍，表面积扩大25倍，据此判断。

【详解】

由分析可知，正方体的棱长扩大5倍，表面积扩大25倍，原题说法错误。

故答案为：×

【点睛】

此题主要根据正方体的表面积公式、因数与积的变化规律进行解答。

18．×

【解析】

【分析】

由“一个棱长为4厘米的正方体”可以求出正方体的1个面的面积，则切出的每个小长方体的表面积都等于原正方体的表面积的一半与一个正方体的面的面积之和，据此即可解答。

【详解】

4×4×6÷2＋4×4

＝48＋16

＝64（平方厘米）

故答案为：×

【点睛】

此题考查的是长方体表面积和体积计算，解答此题的关键是明确每个小长方体的表面积都包括哪几个部分。

19．×

【解析】

【分析】

正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。

【详解】

36÷12＝3（厘米）

体积：3×3×3＝27（立方厘米），表面积：3×3×6＝54（平方厘米）

体积和表面积不是同一种量，无法比较，原题说法错误。

故答案为：×

【点睛】

物体的体积和表面积不是同一种量，无法进行比较。

20．√

【解析】

【分析】

正方体有12条棱，每条棱的长度相等；正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；据此判断。

【详解】

由正方体的体积＝棱长×棱长×棱长可知，体积相等的两个正方体，则它们的棱长相等；由正方体的棱长总和＝棱长×12可知，棱长相等的正方体，那么它们的棱长总和相等。

故答案为：√

【点睛】

掌握正方体的特征、棱长总和、体积公式是解题的关键。

21．×

【解析】

【分析】

根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，可以通过举例证明，即可解答。

【详解】

设原正方体的棱长是8厘米，体积是：

8×8×8

＝64×8

＝512（立方厘米）

正方体棱长减少2厘米后，棱长是8－2＝6厘米，体积是：

6×6×6

＝36×6

＝216（立方厘米）

体积减少了：512－216＝296（立方厘米）

原题干正方体棱长减少2厘米，其体积就减少了8立方厘米，说法错误。

故答案为：×

【点睛】

本题考查正方体体积公式的应用，关键是熟记公式。

22．512立方厘米

【解析】

【分析】

由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝64÷4÷2＝8厘米；根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长；代入数据，据此解答

【详解】

64÷4÷2

＝16÷2

＝8（厘米）

8×8×8

＝64×8

＝512（立方厘米）

答：原来正方体的体积是512立方厘米。

【点睛】

本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。

23．441立方厘米

【解析】

【分析】

根据高减少2厘米，就变成一个正方体可知：这个正方体比原长方体表面积减少了4个长为正方体棱长、宽为2厘米的长方形面，根据已知表面积减少56平方厘米，求出减少面的长，也就是乘下的正方体的棱长，然后求出原长方体的高再根据长方体体积公式：V＝abh，计算原来长方体的体积即可。

【详解】

56÷2÷4

＝28÷4

＝7（厘米）

7＋2＝9（厘米）

7×7×9

＝49×9

＝441（立方厘米）

答：原来长方体的体积是441立方厘米。

【点睛】

理解“减少的面积是4个长为正方体棱长、宽为2厘米的长方形面”并由此求出正方体棱长是解题的关键。

24．94平方厘米；60立方厘米

【解析】

【分析】

表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。

【详解】

40＋30＋24

＝70＋24

＝94（平方厘米）

答：原来长方体的表面积是94平方厘米。

长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4，

长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3，

宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3，

即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。

5×4×3

＝20×3

＝60（立方厘米）

答：体积是60立方厘米。

【点睛】

考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。

25．48平方厘米

【解析】

【分析】

因为切开后是3个相等的正方体，所以原长方体的6个面中，有两个是正方形，四个是长方形，且每个长方形的面积都是正方形的面积的3倍，那么整个长方体的表面积可以看作是（4×3＋2）个，即14个正方形的面积和，用表面积除以14，即可求出每个正方形的面积，再用正方形的面积乘以6即可求出每个正方体的表面积。

【详解】

4×3＋2

＝12＋2

＝14（个）

112÷14×6

＝8×6

＝48（平方厘米）

答：切开后每个正方体的表面积是48平方厘米。

【点睛】

此题主要考查长方体、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是求出切开后每个正方体的每个面的面积或原来长方体的长。

26．（1）512立方厘米；

（2）128平方厘米

【解析】

【分析】

已知这个长方体的长是20厘米、宽是12厘米、高是8厘米，在这个长方体中截下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。原长方体的表面积比原来减少了这个棱长为8厘米的小正方体的4个面的面积，同时又增加了2个小正方体的面的面积，所以表面积是减少了2个小正方体的面的面积；据此即可解题。

【详解】

画示意图如下：

8×8×8＝512（立方厘米）

答：这个正方体的体积是512立方厘米。

8×8×（4－2）

＝8×8×2

＝64×2

＝128（平方厘米）

答：表面积最少减少128平方厘米。

【点睛】

此题主要考查正方体的体积公式的灵活运用，关键是求出所截正方体的棱长是多少厘米。

27．1512立方分米

【解析】

【分析】

根据题意可知：把这块长方体的石材打磨成一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据长方体的体积公式：长×宽×高；正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入求出长方体石材和打磨成的最大正方体体积，之后用长方体石材的体积减最大正方体的体积即可求出磨去的石材是多少立方分米。

【详解】

18×15×12－12×12×12

＝3240－1728

＝1512（立方分米）

【点睛】

本题主要考查长方体和正方体的体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。